习题2.1教学设计模板

教学设计

题目：求曲线的方程

教材：选修2-1第二章圆锥曲线与方程 2.1.2求曲线的方程

说课教师：邯郸市涉县第一中学

张丽梅

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选修2-1第二章圆锥曲线与方程

2.1.2求曲线的方程

各位评委老师好，我叫张丽梅，来自邯郸市涉县第一中学，我说课的题目是《求曲线的方程》。下面是这节课的教学设计，从这节课的教学背景分析，教法与学法，教学过程与设计，以及教学评价反思，板书设计五个方面分别去阐述. 一.教学背景分析

1.教材的地位和作用

上一节课学习了曲线的方程、方程的曲线的概念，本节将进一步研究求曲线的方程的方法。求曲线的方程就是用坐标法研究曲线上的任意点的横纵坐标的关系；根据已知条件求曲线的方程是高中解析几何研究的两大问题之一，既是重点又是难点；本节将利用数形结合、等价转化等数学思想，培养学生的数学建模、直观感知及想象等能力. 2.学情分析

学生在高一已经学习了直线与圆的方程，初步掌握用坐标法求轨迹方程的思想. 在上一节课又学习了曲线的方程、方程的曲线的概念，有一定的建模能力、创新能力. 3.教学目标

(1).知识与技能目标:掌握求曲线的方程的方法及步骤. (2).过程与方法：通过问题教学法，辅以几何画板的演示、学生之间的合作探究，观察发现求曲线的方程的方法. (3).情感态度与价值观：运用数形结合思想，增强学生学习数学的兴趣，培养学生探究的精神. 4.教学的重难点

(1).教学重点：求曲线的方程的方法步骤（五步法）. (2).教学难点：利用已知条件列出等量关系. 二.教法与学法分析

1.教法分析：根据求曲线的方程是一个动态思维的培养，主要采用以下

（1）情境教学法，引导学生去感知，建立曲线的方程模型. （2）问题教学法，环环相扣，化解问题难度，让学生逐步获得成功，体会快乐. （3）现代技术教学手段，观察几何画板展示的动态图形.启发学生用数学思想方法验证的猜想，拓展学生的思维.

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（4）直观感知教学法，让学生亲自动手操作，体会动点轨迹形成过程. 2. 学法分析：新课程要求学生主动学习，学会学习，学生自己去发现解决问题,结合本节课的教法采用了以下四种主要学法. （1）自主探究学习：学生认真分析问题，自主探究，发现解题突破口. （2）归纳总结：学生要及时总结，整理解决问题的方法. （3）实物投影：教师巡视发现并挑选典型做法，进行实物投影，完成问题. （4）分组合作讨论：分8个小组分别合作画图，分组讨论，发现解决问题的方法. 三．教学过程与设计：

1.创设情境，导入新课

问题1：(1).回忆上节，曲线的方程、方程的曲线的概念. (2).利用网络查找笛卡尔与坐标法相关知识,解析几何研究的主要问题. 教师活动：播放天体运行的动图. (3).天体在运行过程中会不会相撞？中国发射卫星近200颗，仅在2016年中国就发射卫星24颗，还有世界等各国发射的那么多的卫星在太空是如何运行的？

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创设情境 导入新课

抛砖引玉 总结方法

重点再现 巩固新知

解法探析 提升素养

拓展延伸

目标检测设计

设计意图：了解求曲线的方程即是将几何问题转化为代数问题研究解决的重要性，为探究用坐标法求曲线的方程的问题找到方法；指出求曲线的方程的重要性，引出本节课！

2.抛砖引玉，总结方法

例1（课本p35）设A,B两点的坐标分别是(1,1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程. 本题采用试一试、探一探、理一理三个环节完成

学生活动：自主探究完成，学生应该会利用必修2所学的求直线方程的方法，利用点斜式求出本题. ．．．教师活动：巡视检查学生所做，用实物投影的方法体现学生的做题步骤，并引导学生如何从曲线的方程的定义去研究. 问题2：线段垂直平分线上任一点有何几何意义？ ．．．设计意图：充分利用曲线的方程的定义，研究曲线上的点的几何意义满足的方程. 教师活动：引导学生设点，求满足条件的集合，从而得到所求直线方程，并强化曲线的方程的定义，并从两方面进行严格的证明.

学生活动：解答如下

①.如图，设点M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点；

AOxM(x,y)yB②.即点M属于集合PM|MAMB. ③.由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为(x1)2(y1)2(x3)2(x7)2

④ .上式两边平方，并整理得 x2y70

⑤. 证明方程是线段AB垂直平分线的方程。

问题3：求曲线的方程的方法步骤是什么？

学生归纳总结，得出求曲线的方程方法步骤（五步法）如下

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标. (2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M). (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)0；

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(4)化方程f(x,y)0为最简形式；

(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上

设计意图：此题属于简单题，主要目的是让学生从坐标法的思想高度去认识求曲线的方程的方法及步骤；一般，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明。另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程. 3.重点再现，巩固新知

例2（课本p36）如右图，

已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l

的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求出这条曲线的方程. 本题采用学生分组讨论，合作探究完成. 问题4：

如何建立合适的坐标系？

．．．学生活动：分组讨论研究. 教师巡视发现：学生在建坐标系时有好多种，如何最好？

教师活动：使用几何画板展示题中条件，体会动点形成过程，直观感知几何图形。

设计意图：为了使曲线方程的形式简单一些，在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示. 学生活动1：取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy. 设点M(x,y)是曲线上的任意一点，作MBx轴，垂足为B，

学生活动2：认真审题后，本题条件明显，而后利用已知条件，得到点M的集合

PM|MFMB2 由两点间的距离公式，

学生活动3：点M适合的条件可表示为x2(y2)2y2 ①，

1将①式移项后两边平方，得x2(y2)2(y2)2 化简得yx2. 8本题学生化简完方程后，不考虑方程上任一点是否满足

教师活动：投影展示学生所得的结果,引导发现问题.

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因为曲线在x轴的上方，所以y0.显然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，1但不属于已知曲线，所以曲线的方程是yx2(x0)，完善结论. 8设计意图：强调求曲线的方程第五步检验证明，指出曲线的方程的定义重要性. 4.解法探析，提升素养

例3：长为2a的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明它是什么图形？

本题采用动手实践，数形结合完成. 教师活动：指导学生按以下方法步骤进行操作. 学生活动：1.动手在草稿纸上画一个坐标系，用准备好的牙签做固定的线段；

显示线段动画点2a2a2.两个同学合作，移动线段，画出线段中点的轨迹；

3.分组合作完成，不同组画不同象限，四个组探究合作，完成变化，观察图像，猜测出轨迹；

教师活动：用几何画板演示，验证学生的猜测. 设计意图：通过学生动手实践，增强学生形象直观的感知能力. 问题5：本题中动点与不动点间有何关系？

15101015教师活动：帮助学生发现动点间关系.巡视发现学生的解法，并投影展示. 学生１（直接法）：设M(x,y)，则A(2x,0)，B(0,2y)由AB2a，得(2x0)2(02y)22a，即x2y2a2，经检验即为所求。

学生２（几何法）：设M(x,y)，直角三角形中斜边上的中线长等于斜边长的一半，

得到OMa，即(x0)2(0y)2a，即 x2y2a2，经检验即为所求。

学生３（定义法）.设M(x,y)，由动点M到O的距离等于定长a，根据圆的定义，

得到 x2y2a2，经检验即为所求。

5.拓展延伸：

我试探着问学生,几何画板可以验证同学们的猜想，我们能否利用它的优势，有别的发现呢？在我的引导下,学生利用先进的教学手段，在白板上改变M的位置,发现轨迹是椭圆，引出下

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一节将要研究学习的内容！同时告诉他们可以探究完成起曲线的方程，也可以利用这个原理做成画椭圆的工具！

七十年代,受中国古代传统数学以及计算机的启发, 中国数学家吴文俊萌发了初等几何定理机械化证明的思想,经过几个月艰苦卓绝的努力,终于在1977年的春节前成功地利用这一思想证明了一些数学定理。 吴文俊老先生于2017年5月7日病逝,享年98岁.他带给中国数学乃至世界数学的用机器证明的方法推动了现代科技的发展. 我国在探明的其中一颗小卫星上以吴文俊先生命名，纪念他为现代科技的发展做出的贡献！

2a显示线段BM动画点2a1510思考题：M的轨迹方程如何求？

设计意图：通过以上学习激发学生探求新知的欲望,培养学生发现创新的能力, 让学生在发现中体会成功的快乐，使学生做到善学乐学;同时也加强了爱国主义教育,使学生树立改变世界，引领未来的信心.

A10四．教学评价分析

学生活动：学生练习课本37页练习题4题、习题3题，独自完成，并互相批改

教师活动：巡视指导，点拨提醒,投影展示学生所做. 提高型练习1(37页练习题4题).如图，已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程. 解答再现：

学生1：设M(x,y)，则A(2x,0)，B(0,2y)，2022yACBCkACkBC1，得到1，化简得xy2022x20（学生没有检验证明）

yBCMOAx学生2：设M(x,y)，则A(2x,0)，B(0,2y)，由ACBC，则CACA0，由CA(2x2,02)，CB(02,2y2)，

得(2x2)(2)(2)(2y2)0，化简得xy20

学生3：设M(x,y)，则A(2x,0)，B(0,2y)，由ACBC，

则ABC为直角三角形，由勾股定理，得AC2BC2AB2，即(2x2)24(2y2)24(2x)2(2y)2 化简得xy20

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学生4：设M(x,y)，点M既是RtABC的斜边AB的中点，又是RtABO的斜边AB的中点，由此可得OMCM，则x2y2(x2)2(y2)2，化简得xy20

教学目的：

掌握(1)求曲线的方程，如何列等量关系. (2)两直线垂直既可以用斜率乘积为-1,也可以用向量的数量积为0的方法，为避免讨论，建议使用向量方法，简化步骤. (3) 增强学生直观想象能力，

遇到垂直问题时有几种等价转化的方法. (4)在学习中要不断总结，摸索最好的解题方法. 教师活动：检验证明，曲线的方程是一条直线吗？同时使用几何画板展示. 提高型练习2(37页习题3题).过原点O的直线与圆x2y26x50相交于A,B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程. 解法再现

学生1：（直接法）设点M(x,y)，圆心为C(3,0)，因为M为弦AB的中点，由垂径定理

可知OMCM，kOMkCM1，即yy1，化简得x2y23x0. xx3（学生没有检验）

学生2.（向量法）

设点M(x,y)，圆心为C(3,0)，因为M为弦AB的中点，由垂径定理

可知OMCM，利用向量垂直得，OM(x,y)，CM(x3,y)，OMCM0，

即x(x3)y20，化简得x2y23x0.（学生没有检验）

学生3：(定义法)设点M(x,y)，圆心为C(3,0)，因为M为弦AB的中点，由垂径定理

可知OMCM，则M在以OC为直径的圆上（圆C内部一段弧），

5即x(x3)y20，化简得x2y23x0（x1）. 3学生4：（消参法），由题意过原点的直线斜率存在，可设为ykx，设交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点为M(x,y)

与圆C的方程联立，消去y得，(1k2)x26x50. 5利用根与系数关系，可以消去参数得到 x2y23x0（x1）

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教师点评：方法1没有注意讨论斜率，方法2利用向量就避免了讨论，但都要注意检验证明！

目标检测设计（由学生独立完成）

1.一个动点到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程. 设计意图：强调求曲线方程的步骤方法

2.已知A(0,4),B(0,4)两点,直线MA与MB的斜率之积为-1，求点M的轨迹方程. 设计意图：让学生理解“五步法”的检验证明的重要性. 3.一动圆截直线3xy0和3xy0所得弦长分别为8，4，求动圆圆心的轨迹方程. 设计意图：动手实践画图，通过图形观察寻求等量关系. 反思小结

问题6.(1)求曲线的方程的方法步骤（“五步法”）,你掌握了吗？

(2)如何列等量关系，应特别注意那一步？

设计意图：掌握本节重点，理解本节难点，提高学生归纳反思的习惯. 因本节课是求曲线方程第一节，必须注重双基，因此主要以课本为蓝本，以学生能否学会求曲线的方程的方法，是否会探究轨迹问题的本质来检验本节课完成的质量！ 本节在选例题时由易到难，利用几何画板动态展示动点间关系，层层设问，引导学生发现并解决问题，让学生合作探究，投影展示学生所做，并由学生总结求曲线的方程的步骤（“五步法”），提高学生学习数学的积极性；引入数学家吴文俊故事，拓展学生视野，培养学生探究的精神；提高型练习，层层递进，使学生熟练掌握本节所学内容.现在我们学校的教室已经全部安装白板，学生若能按预设完成目标，本节课即达到了既定效果！ 五．板书设计

引入

新课讲授

例1 例2

求曲线的方程

例3 解法1 提高练习1 提高练习2

反思小结

解法2 解法3

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