1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案设计（一等奖）

空间几何体的表面积和体积

【学习目标】

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；

2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；

3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；

4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【知识探究】

探究一、棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：

项目

名称

棱柱

棱锥

棱台

底面

平面多边形

平面多边形

平面多边形

平行四边形

三角形

梯形

侧面

面积=底·高

1·底·高

21面积=·（上底+下底）·高

2面积=要点诠释：

求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．

探究二、圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．

1．圆柱的表面积

（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长l，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长l（也是高），由此可得S圆柱侧=Cl=2πrl．

2（2）圆柱的表面积：S圆柱表2r2rl2r(rl)．

2．圆锥的表面积

（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为l，由此可得它的侧面积是S圆锥侧1Clrl．

22（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr+πrl．

3．圆台的表面积

（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为l，那么这个扇形的面积为π(r＇+r)l，即圆台的侧面积为S圆台侧=π(r＇+r)l．

（2）圆台的表面积：S圆台表(r'2r2r'lrl)．

要点诠释：

求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．

4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．

探究三、柱体、锥体、台体的体积

1．柱体的体积公式

棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．

2圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πrh．

综上，柱体的体积公式为V=Sh．

2．锥体的体积公式

棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积V棱锥圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积V圆锥r表示S，则V圆锥21Sh．

31Sh；如果底面积半径是r，用π312rh．

31Sh．

3综上，锥体的体积公式为V3．台体的体积公式

棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是1V棱台h(SSS'S')．

3圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是

11V圆台h(SSS'S')h(r2rr'r'2)．

33

综上，台体的体积公式为V1h(SSS'S')．

34．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．

探究4、球的表面积和体积

1．球的表面积

（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．

（2）球的表面积

2设球的半径为R，则球的表面积公式 S球=4πR．

即球面面积等于它的大圆面积的四倍．

2．球的体积

设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．

球的体积公式为V球4R3．

3探究五、侧面积与体积的计算

1．多面体的侧面积与体积的计算

在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．

（1）棱锥平行于底的截面的性质：

在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：

S小锥底S大锥底S小锥全S大锥全S小锥侧S大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．

要点诠释：

这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．

（2）有关棱柱直截面的补充知识．

在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：

S棱柱侧=C直截l（其中C直截、l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），

V棱柱=S直截l（其中S直截、l分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）．

2．旋转体的侧面积和体积的计算

（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．

（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．

【典型例题】

类型一、简单几何体的表面积

例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长a4a、5a(a0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，则a的取值范分别为3a、围是 ．

【答案】0a15．

32【解析】底面积为6a，侧面面积分别为6、8、10，拼成三棱柱时，有三种情况：

s126a22(1086)12a248，

s224a22(108)24a236,

s324a22(106)24a232,

拼成四棱柱时只有一种情况：

表面积为(86)246a224a228，

22由题意得24a2812a48，解得0a15．

3【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．

（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．

例2．在底面半径为R，高为h的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．

【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。

【答案】高为h1 侧面积的最大值为Rh

22【解析】如右图，设圆柱的高为x，其底面半径为r，则∴rrhx，

RhR(hx)．

h2R2R2x(hx)(xhx)

hh圆柱的侧面积

S侧2rx2Rh2h22RhhR[(x)](x)2 ，

h24h22

当xhhR时，S侧最大值．

22h1，此时侧面积的最大值为Rh．

22即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为【总结升华】与旋转体有关的问题，常作轴截面，利用相似比得出变量之间的关系，进一步转化成代数问题解决．

例3．粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是220 mm．计算制造这一下料斗所需铁板的面积．

【思路点拨】问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需先求出斜高．可在有关的直角梯形中求出斜高．

5【答案】2.8×10

【解析】如图所示，O、O1是两底面的中心，则OO1是正棱台的高．设EE1是斜高，过E1作E1F∥OO1交OE于F，则E1F⊥OE，在直角梯形OO1E1E中，

EE1E1F2EF2

OO1(EOE1O1)

222002(440802)269(mm)．

2∵边数n=4，两底面边长a=440 mm，a＇=80 mm，斜高h＇≈269 mm，

11(c'c)h'n(a'a)h'

22152 4(80440)2692.810(mm)．

2∴S正棱台侧答：制造这一下料斗约需铁板2.8×10 mm．

【总结升华】

（1）解决与正棱台有关的计算问题，关键是利用有关直角梯形，即上图中的梯形OEE1O1、梯形OAA1O1、梯形AEE1A1．

（2）求棱台的侧面积，只需利用公式求解即可，这就需要求出上、下底面半径以及母线长．

类型二、简单几何体的体积

例4．已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．

【答案】43cm 1900cm

【解析】如右图所示，在三棱台ABC—A＇B＇C＇中，O＇、O分别为上、下底面的中心，D、D＇分别是BC、B＇C＇的中点，则DD＇是梯形BCC＇B＇的高，

所以S侧32521(2030)DD'75DD'．

2又A＇B＇=20 cm，AB=30 cm，则上、下底面面积之和为

S上S下3(202302)3253(cm2)．

4

由S侧=S上+S下，得75DD'3253，

所以DD'133(cm)，

3O'D'310320(cm)，

63OD33053(cm)，

62213310322所以棱台的高hO'OD'D(ODO'D')，

353343(cm)由棱台的体积公式，可得棱台的体积为

Vh(S上S下S上S下)

343333222203020301900(cm)．

3444【总结升华】

注意构造简单几何体中的特殊三角形与特殊梯形，它们的数量关系往往是连接已知与未知的桥梁，要注意利用．

3例5．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则这个几何体的体积为 m

【答案】

6

【解析】

由三视图可知这个几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的．

其体积为等于圆锥的体积与长方体的体积之和．

121rhabc123321

333 =6（m）

即V【总结升华】给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解．此类题目是新课标高考的热点，应引起重视．

【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥

所得，所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即82．

3类型三、球的表面积与体积

例6．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面

面积与球的体积．

【答案】54π 276

【解析】如右图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于点O1，由于OA=OB=OC=R，则O1是△ABC的外心，设M是AB的中点，由于AC=BC，则O1∈CM．设O1M=x，连接O1A，O1B，易知O1M⊥AB，

则O1A22x2，

O1CCMO1M6222x．

又O1A=O1C，

∴22x26222x．

解得x72．

492．

4R，∠OO1A=90°，OA=R，

22∴O1AO1BO1C在Rt△OO1A中，O1O2R922由勾股定理得，

R24解得R36．

22则S球=4πR=54π，V球4R3276．

3【总结升华】本题利用球面的性质，根据条件中的等量关系建立方程．

例7．已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a．

（1）求它的外接球的体积．

（2）求它的内切球的表面积．

【答案】（1）863472a（2）a

273【解析】 如右图，作PE垂直底面ABCD于E，则E在AC上．

（1）设外接球的半径为R，球心为O，连接OA、OC，则OA=OC=OP，

∴O为△PAC的外心，即△PAC的外接圆半径就是球的半径．

∵AB=BC=a，∴AC2a．

∵PAPCAC2a，∴△PAC为正三角形．

2aAE62a，

∴RcosOAEcos303∴V球4863R2a．

327（2）设内切球的半径为r，作PE⊥BC于F，连接EF．

则有PFa7PB2BF2(2a)2()2a．

22SPBC11772BCPFaaa，

2224S棱锥全4SPBCS底(71)a2．

27a6又PEPF2EF2aa．

2222∴V棱锥11663S底ha2aa，

3326∴r3V棱锥S棱锥全63a47242626，S4ra．

a球2312(71)a3【总结升华】

多面体之间或多面体与球之间的切接关系，是一种空间简单几何体之间的位置关系．处理这类问题时，一般可以采用两种转化方法：一是转化为平面图形之间的内切或外接关系；二是利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得简单，这里体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法．