1.2.1 充分条件与必要条件全国优秀课堂实录

1．1.2

充分条件和必要条件

如图：p：开关A闭合，q：灯泡B亮．

问题1：p与q有什么关系？

提示：命题p成立，命题q一定成立．

p：两三角形相似，q：对应角相等．

问题2：p与q有什么关系？

提示：命题p成立，命题q一定成立．

一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

已知p：整数x是6的倍数；

q：整数x是2和3的倍数．

问题1：“若p，则q”是真命题吗？

提示：是．

问题2：“若q，则p”是真命题吗？

提示：是．

问题3：p是q的什么条件？

提示：充要条件．

1．如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件．简称p是q的充要条件，记作p⇔q. 2．如果p⇒q，且q

⇒

p，那么称p是q的充分不必要条件．

/3．如果p ⇒

q，且q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件．

/4．如果p ⇒

q，且q ⇒/

p，那么称p是q的既不充分又不必要条件．

/

原命题“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，则p与q的关系有以下四种情形：

原命题

逆命题

p、q的关系

充要条件

充分条件和必要条件

真

假

p是q的充分不必要条件

q是p的必要不充分条件

p是q的必要不充分条件

q是p的充分不必要条件

p与q互为充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

q是p的既不充分也不必要条件

[对应学生用书P6]

假

真

假

真

真

假

[例1]

对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是________．

①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；

②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；

③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；

④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．

[思路点拨]

逐一分析Δ，根据二次函数与Δ的关系，判断结论是否正确．

[精解详析]

①是正确的，因为Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c有零点；

②是正确的，因为Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，有可能Δ>0；

③是错误的，因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，但未必有Δ＝b2－4ac>0，也有可能Δ＝0；

④是正确的，因为Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．

[答案]

①②④

[一点通]

充分、必要条件判断的常用方法：

(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．

(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．

充分条件和必要条件的判断

1．从“⇒”、“

⇒

”与“⇔”中选出适当的符号填空：

/(1)x>1________x>0；

(2)a>b________a2>b2；

(3)a2＋b2＝2ab________a＝b；

(4)A⊆∅________A＝∅. 解析：(1)由于命题“若x>1，则x>0”为真命题，则x>1⇒x>0；

(2)由于命题“若a>b，则a2>b2”为假命题，则a>b⇒/ a2>b2；

(3)由于命题“若a2＋b2＝2ab，则a＝b”为真命题，且逆命题也为真命题，故a2＋b2＝2ab⇔a＝b；

(4)由于命题“若A⊆∅，则A＝∅”为真命题，且逆命题也为真命题，故A⊆∅⇔A＝∅. 答案：(1)⇒

(2)

⇒

(3)⇔

(4)⇔

/2．(福建高考改编)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．

解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B ⇒

a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．

/答案：充分不必要

3．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选一个作答)：

(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；

(4)p：a>b，q：ac>bc. 解：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 ⇒

x－3＝0，故p是q的充分不必/要条件．

(2)两个三角形相似

⇒

两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是/q的必要不充分条件．

(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．

(4)a>b ⇒

ac>bc，且ac>bc ⇒/

a>b，故p是q的既不充分又不必要条件. /

[例2]

已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

[思路点拨]

先利用不等式的解法确定命题p、q成立的条件，再根据p是q的充分不充分条件、必要条件的应用

必要条件确定a的不等式组，求得a的范围．

[精解详析]

令M＝{x|2x2－3x－2≥0} ＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0} 1＝{x|x≤－或x≥2}，

2N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0} ＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0} ＝{x|x≤a－2或x≥a}．

由已知p⇒q且q ⇒

p，得MN. /11a－2≥－2，a－2>－2，∴或

a<2，a≤233⇔≤a<2或

2[一点通]

根据充分条件或必要条件求参数范围：

(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；

(2)若p是q的充分不必要条件，则M若p是q的必要不充分条件，则N若p是q的充要条件，则M＝N；

(3)根据集合的关系列不等式(组)；

(4)求参数范围．

3－m3＋m4．已知p：关于x的不等式

3－m3＋m，

解：记A＝x

N，

M，

B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0

若p是q的充分不必要条件，则AB. 注意到B＝{x|0

3－m3＋m(1)若A＝∅，即≥，求得m≤0，此时A22B，符合题意；

3－m3＋m(2)若A≠∅，即<，求得m>0，

22要使AB，应有3＋m<3，2m>03－m>0，2

解得0

5．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0，且q是p的充分不必要条件，求m的值．

解：由题意得p：A＝{x|x＝－3或x＝2}，

当m＝0时，p＝B＝∅，

1当m≠0时，P：B＝x| x＝－m. ∵q是p的充分不必要条件，∴B易知m＝0适合题意．

A. 1111当－＝－3或－＝2，即m＝或m＝－时，也适合题意．

mm3211∴m的值为－或或0. 23

[例3]

已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件．

[思路点拨]

根据数列的前n项和Sn与数列通项an的关系，先求出数列的通项an，根据数列{an}为等比数列，探求q所满足的条件，同时要注意充分性的证明．

[精解详析]

a1＝S1＝p＋q. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－1)，

－求充要条件

pnp－1∵p≠0，p≠1，∴n－1＝p. pp－1a2an＋1若{an}为等比数列，则＝＝p，

a1an∴pp－1＝p，

p＋q∵p≠0，∴p－1＝p＋q，

∴q＝－1.∴{an}为等比数列的必要条件是q＝－1. 下面证明q＝－1是{an}为等比数列的充分条件．

当q＝－1时，Sn＝pn－1(p≠0，p≠1)，

∴a1＝S1＝p－1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn1＝pn1(p－1)，

－－∴an＝(p－1)pn1(p≠0，p≠1)，

－n1anp－1p＝－＝p为常数，

an－1p－1pn2－∴q＝－1时，数列{an}为等比数列．即数列{an}是等比数列的充要条件为q＝－1. [一点通]

求充要条件一般有两种方法：

(1)等价转化法．将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，求解的过程同时也是证明的过程，因为求解的过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．

(2)非等价转化法．先寻找必要条件，即将求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．

6．使函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数的充分不必要条件为________．

解析：由函数f(x)＝|x－a|的图像知，函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数的充要条件为a≤1，所以使“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件即求使“a≤1”成立的充分不必要条件，即填写形如a≤p，且p<1即可，故答案不唯一，可填a≤0. 答案：a≤0 7．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 解析：由于方程都是正整数解，由判别式“16－4n≥0”得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2. 答案：3或4

1．关于充分条件、必要条件、充要条件以及既不充分又不必要条件的关系有如下四种情形：

(1)若pq，则p是q的充分不必要条件；

(2)若qp，则p是q的必要不充分条件；

(3)若p＝q，则p是q的充分必要条件，既充要条件；

(4)若pq，且qp，则p是q的既不充分又不必要条件．

2．根据充分条件、必要条件、充要条件的关系求参数的取值范围，往往运用等价转化的思想，利用互为逆否命题的等价性来解决．

[对应课时跟踪训练(二)]

1．(安徽高考改编)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．

11解析：由(2x－1)x＝0可得x＝或x＝0，因为“x＝或x＝0”是“x＝0”的必要不充分22条件，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

2．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________. 解析：由1×3－a×(a－2)＝0，得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1. 答案：－1 3．对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

③“a<5”是“a<3”的必要条件；

④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．

其中真命题的序号为________．

解析：①“a＝b”是ac＝bc的充分不必要条件，故①错，②a>b是a2>b2的既不充分也不必要条件，故②错．③④正确．

答案：③④

4．(北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的________条件．

解析：由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．

答案：充分不必要

5．若p：x(x－3)<0是q：2x－3

3＋m解析：p：0

23＋m若p是q的充分不必要条件，则≥3，即m≥3. 2答案：[3，＋∞) 6．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

证明：(1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2c＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. ac(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程aax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 7．求直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件．

2x－2y－3＝0，1711解：由得交点P4，4. 3x－5y＋1＝0，

若直线l：ax－y＋b＝0经过点P，

1711则a×－＋b＝0.∴17a＋4b＝11. 4411－17a设a，b满足17a＋4b＝11，则b＝，

411－17a代入方程ax－y＋b＝0，得ax－y＋＝0，

41117y－－ax－＝0. 整理，得441711∴直线l：ax－y＋b＝0恒过点4，4，此点即为l1与l2的交点．

综上，直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件为17a＋4b＝11. 8．已知p：－6≤x－4≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

解：p：－6≤x－4≤6⇔－2≤x≤10. q：x2－2x＋1－m2≤0⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)⇔1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为q是p的充分不必要条件．

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，如图，

1－m≥－2，1－m>－2，故有或

1＋m<10，1＋m≤10，

解得m≤3. 又m>0，所以实数m的范围为{m|0