3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教案案例

第三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率

教学目标: 知识与技能

(1)

正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

(2)

理解直线的倾斜角的唯一性. (3)

理解直线的斜率的存在性. (4)

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机

教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程：

（一）

直线的倾斜角的概念

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

YabcOPX

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾．斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. ．．问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. YaObXc如图, 直线a∥b∥c, 那么它们

的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾斜角α．．．P．．．．．．．．. (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2, y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

(四)例题: 例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.

略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角. 例2△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，直线BC与x轴的交点为D，求边AB、AC、BC与中线AD所在直线的斜率。

思维导引：①画出图像来就成功了一半？你会画出正确的图像来吗？

②如何求直线的斜率？知道倾斜角呢？

③是不是知道正三角形及角平分线这两个条件就相当于知道了倾斜角？

④和x轴平行以及垂直的直线的斜率怎样求啊？

规范解答：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线AB的倾斜角为180°－30°=150°，

直线AC的倾斜角为30°，

∴kAB=tan150°=－33，k=tan30°=3AC3

直线BC与x轴垂直，直线AD与x轴平行，

所以BC的斜率不存在，直线AD的斜率为0 变式训练：已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围. 规范解答：如图所示, 直线PA的斜率是k2(3)11(2)5, 直线PB的斜率是k2203(1)12. 当直线l由PA变化到y轴平行位置PC, 它的倾斜角由锐90°，斜率的变化范围是[5,)；当直线l由PC变化到PB90°增至(tan12)，斜率的变化范围是(,12]. 所以斜率的变化范围是(,12][5,). (五)练习:教材练习 1. 2. 3. 4. (六)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 直线的斜率公式. 的直线l与线段AB始角(tan5)增至位置，它的倾斜角由

(七)课后作业:习题3.1 1. 3.