习题2.1第一课时教学实录

2.1

空间点、线、面的位置关系

考纲解读

[来源:学科网ZXXK]

考点

内容解读

1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论

2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题

3.理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论

要求

高考示例

2016浙江,2; 2016山东,6; 2015广东,6; 2015四川,18 常考题型

预测热度

空间点、线、面的位置关系

Ⅱ

选择题、

填空题

★★★

分析解读

高考对本节内容的考查主要体现在两个方面:一是以三个公理和推论为基础,考查点、线、面之间的位置关系;二是考查两直线的位置关系.考查形式以选择题和填空题为主,也可能在解答题中出现,本节内容主要考查学生的空间想象能力,所以在备考复习时应加强训练. 五年高考

考点

空间点、线、面的位置关系

A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案

C

2.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

A

B.必要不充分条件

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(

) D.既不充分也不必要条件

3.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(

) A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交

[来源:学|科|网]

C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.l至少与l1,l2中的一条相交

答案

D

4.(2014广东,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(

) A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

[来源:Z.xx.k.Com]答案

D

5.(2015四川,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论; (3)证明:直线DF⊥平面BEG.

解析

(1)点F,G,H的位置如图所示.

(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下: 因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG, 又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH, 于是BCHE为平行四边形. 所以BE∥CH. 又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH, 所以BE∥平面ACH. 同理BG∥平面ACH. 又BE∩BG=B, 所以平面BEG∥平面ACH. (3)证明:连接FH. 因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH, 因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG. 又EG⊥FH,EG∩FH=O,所以EG⊥平面BFHD. 又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG. 同理DF⊥BG. 又EG∩BG=G,

所以DF⊥平面BEG. [来源:学+科+网Z+X+X+K]

教师用书专用(6—9)

6.(2013浙江,4,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面(

) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥β

C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β

答案

C

7.(2013江西,15,5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为

.

答案

4

8.(2013安徽,15,5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是

(写出所有正确命题的编号).

①当0

②当CQ=时,S为等腰梯形

③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=

④当

⑤当CQ=1时,S的面积为

答案

①②③⑤

9.(2014陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H. (1)求四面体ABCD的体积; (2)证明:四边形EFGH是矩形.

解析

(1)由该四面体的三视图可知, BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1, ∴AD⊥平面BDC, ∴四面体ABCD的体积V=××2×2×1=. (2)证明:∵BC∥平面EFGH, 平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH, ∴BC∥FG,BC∥EH, ∴FG∥EH. 同理,EF∥AD,HG∥AD, ∴EF∥HG, ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵AD⊥平面BDC, ∴AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴四边形EFGH是矩形.

三年模拟

A组

2016—2018年模拟·基础题组

考点

空间点、线、面的位置关系

1.(2018河南洛阳期中,5)设a,b是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列四个命题中错误的是(

) A.若a⊥b,a⊥α,b⊄α则b∥α

B.若a∥α,a⊥β,则α⊥β

C.若a⊥β,α⊥β,则a∥α

D.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β

答案

C

2.(2017河南部分重点中学联考,7)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n,有下列四个命题: ①若m∥n,m⊥α,则n⊥α; ②若m⊥α,m⊥β,则α∥β; ③若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β; ④若m∥α,α∩β=n,则m∥n. 其中正确命题的个数是(

) A.0 B.1 C.2 D.3 答案

D

3.(2017贵州六盘水二模,4)α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(

)

A.垂直

B.相交

C.异面

D.平行

答案

D

4.(2016黑龙江哈尔滨三中期中,5)已知a,b,c是空间中的三条不同直线,命题p:若a⊥b,a⊥c,则b∥c;命题q:若直线a,b,c两两相交,则a,b,c共面,则下列命题中为真命题的是(

)

A.p∧q B.p∨q C.(p)∧q 答案

D

D.p∨(q) B组

2016—2018年模拟·提升题组

(满分:25分

时间:20分钟)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.(2018湖北部分重点中学12月联考,5)设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内两条相交直线,则α⊥β的一个充分不必要条件是(

) A.l1⊥m,l1⊥n C.m⊥l1,n⊥l2

答案

B

2.(2018湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(

) B.m⊥l1,m⊥l2

D.m∥n,l1⊥n

A.①③

B.②③

C.②④

D.②③④

答案

C

3.(2017山西临汾三模,4)已知平面α及直线a,b,则下列说法正确的是(

) A.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线平行

B.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线不可能垂直

C.若直线a,b平行,则这两条直线中至少有一条与平面α平行

D.若直线a,b垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直

答案

D

4.(2016浙江温州二模,4)已知a,b为异面直线,下列结论不正确的是(

) A.必存在平面α,使得a∥α,b∥α

B.必存在平面α,使得a,b与α所成角相等

C.必存在平面α,使得a⊂α,b⊥α

D.必存在平面α,使得a,b与α的距离相等

答案

C

二、填空题(共5分)

5.(2017湖北武汉武昌调研,16)在矩形ABCD中,AB

.(写出所有正确结论的序号)

答案

②

C组

2016—2018年模拟·方法题组

方法1

判断空间点、线、面位置关系的方法

1.(2018河北石家庄重点中学摸底考试,11)已知平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c,则下列命题: ①若a∥b,则a∥c,b∥c;②若a∩b=O,则O∈c;③若a⊥b,b⊥c,则a⊥c.其中正确的命题是(

) A.①②③ B.②③

C.①③

D.①②

答案

D

2.(2016浙江宁波二模,5)下列命题中,正确的是(

) A.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线

B.若a,b是两条直线,且a∥b,则直线a平行于经过直线b的所有平面

C.若直线a与平面α不平行,则此直线与平面内的所有直线都不平行

D.若直线a∥平面α,点P∈α,则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条

答案

D

方法2

证明点共线、线共点及点线共面的方法

3.(2018河南濮阳一高10月月考,18)如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH. (1)求AH∶HD;

(2)求证:EH、FG、BD三线共点.

解析

(1)∵==2,∴EF∥AC,又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD, 又∵EF⊂面EFGH,面EFGH∩面ACD=GH,∴EF∥GH. 而EF∥AC,∴AC∥GH,∴∴AH∶HD=3∶1.

(2)证明:∵EF∥GH,且=,

=,∴EF≠GH,

==3. ∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交. 设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂面ABD,∴P∈面ABD, 同理,P∈面BCD,而面ABD∩面BCD=BD,∴P∈BD. ∴EH、FG、BD三线共点. 4.(2017四川成都联考,18)如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.

证明

证法一:∵A、C、E不共线, ∴它们确定一个平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α, 同理,l2⊂α,又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α, ∴l3⊂α,同理,l4⊂α, 故l1,l2,l3,l4四条直线共面.

证法二:∵点A、C、E不共线, ∴它们确定一个平面α, 又∵A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α, 又∵F、D、E不共线, ∴它们确定一个平面β. 又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4, ∴l3⊂β,l4⊂β. 而不共线的三点B、C、D可确定一个平面, 又B、C、D既在α内又在β内, 故平面α与平面β重合. ∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.