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圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法

(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．

(2)两大解法：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②引起变量法：其解题流程为

x2y21(2019·沈阳模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦点为F1，F2，离心率为，点Pab2为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为3，O为坐标原点．

(1)求椭圆C的方程；

―→―→(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使OM·ON＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．

1[解]

(1)当点P位于短轴的端点时，△PF1F2的面积最大，即×2c×b＝3，

2bc＝3，则有c1a＝2，c2＝a2－b2，

a＝2，解得

b＝3，

x2y2所以椭圆C的方程为＋＝1. 43(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝m，

当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋n，则点O到直线MN的距离d＝

n2，

k2＋1223x＋4y＝12，联立消去y，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0, 由Δ＞0得4k2－n2＋y＝kx＋n，|n|k2＋1＝

3＞0，

4n2－128kn则x1＋x2＝－2，x1x2＝2，

4k＋34k＋37n2所以x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n＝m，整理得2＝12＋k＋122

m4k2＋3. k2＋1因为d＝

n2为常数，则m＝0，d＝

k2＋112221＝，

777n2此时2＝12满足Δ＞0. k＋1当MN⊥x轴时，由m＝0得kOM＝±1，

223x＋4y＝12，12联立消去y，得x2＝，

7x，y＝±

点O到直线MN的距离d＝|x|＝221亦成立．

7221综上可知，当m＝0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是. 7过关训练]

x2y252．(2019·昆明调研)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦距为4，P2，是椭圆C上ab5的点．

(1)求椭圆C的方程；

―→―→―→(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设OD＝OA＋OB，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值．

解：(1)由题意知2c＝4，即c＝2，

x2y2则椭圆C的方程为2＋2＝1，

aa－4因为点P2，5在椭圆C上，

54116所以2＋2＝1，解得a2＝5或a2＝(舍去)，

a5a－45x22所以椭圆C的方程为＋y＝1. 5(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，

―→―→―→由OA＋OB＝OD，得D(x1＋x2，y1＋y2)，

所以直线AB的斜率kAB＝直线OD的斜率kOD＝y1－y2，

x1－x2y1＋y2，

x1＋x2

由x5＋y＝1，2222x21＋y21＝1，5

y1＋y2y1－y211得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即·＝－，

55x1＋x2x1－x21所以kAB·kOD＝－. 51故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－. 5x222.(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两2点，点M的坐标为(2,0)．

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB. [解]

(1)由已知得F(1,0)，直线l的方程为x＝1. 则点A的坐标为1，又M(2,0)，

所以直线AM的方程为y＝－22x＋2或y＝x－2，

2222或1，－. 22即x＋2y－2＝0或x－2y－2＝0. (2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，

所以∠OMA＝∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为

y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＜2，x2＜2，直线MA，MB的斜率之和为

y1y2kMA＋kMB＝＋. x1－2x2－2由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，

2kx1x2－3kx1＋x2＋4k得kMA＋kMB＝. x1－2x2－2x22将y＝k(x－1)代入＋y＝1，

2得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，

2k2－24k2所以x1＋x2＝2，x1x2＝2. 2k＋12k＋1则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k

4k3－4k－12k3＋8k3＋4k＝＝0. 2k2＋1从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．

所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB成立．

x2y21．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段43AB的中点为M(1，m)(m＞0)．

1(1)证明：k＜－；

2―→―→―→―→―→―→(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．

证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

22x1y2x2y212则＋＝1，＋＝1. 4343y1－y2x1＋x2y1＋y2两式相减，并由＝k得＋·k＝0. 43x1－x2x1＋x2y1＋y23由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①

224m31由题设得0＜m＜，故k＜－. 22(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，

则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．

由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，

y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0. 3又点P在C上，所以m＝，

43―→31，－，|FP|＝，

从而P22―→于是|FA|＝x1－12＋y21＝x2―→同理|FB|＝2－. 21―→―→所以|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3. 2―→―→―→故2|FP|＝|FA|＋|FB|，

―→―→―→即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列．

设该数列的公差为d，

x1x1－＝2－1. x1－1＋34222

―→―→1则2|d|＝||FB|－|FA||＝|x1－x2| 21＝

2x1＋x22－4x1x2.②

3将m＝代入①得k＝－1，

47所以l的方程为y＝－x＋，

41代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0. 4故x1＋x2＝2，x1x2＝1321，代入②解得|d|＝. 2828321321所以该数列的公差为或－. 2828x2y23．(2019·沈阳教学质量监测)设O为坐标原点，动点M在椭圆＋＝1上，过M作x94―→―→轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝2NM. (1)求点P的轨迹E的方程；

(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点11P的轨迹交于C，D两点，求证：＋为定值．

|AB||CD|―→解：(1)设P(x，y)，易知N(x,0)，NP＝(0，y)，

yy―→1―→又NM＝NP＝0，，∴Mx，，

222x2x2y2又点M在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1. 9498x2y2∴点P的轨迹E的方程为＋＝1. 98(2)证明：当直线l1与x轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝∴1117＋＝. |AB||CD|4816，|CD|＝6，

316，

3y22当直线l1与x轴垂直时，|AB|＝∴1117＋＝. |AB||CD|48当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，则直线l21的方程为y＝－k(x－1)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

y＝kx－1，22联立直线l1与曲线E的方程，得xy

＋＝1，98得(8＋9k2)x2－18k2x＋9k2－72＝0，

x＋x＝18k，8＋9k可得9k－72xx＝8＋9k，212221222Δ＝－18k22－48＋9k29k2－72＞0，

2

481＋k2∴|AB|＝1＋k·x1＋x2－4x1x2＝，

8＋9k229－72k218同理可得x3＋x4＝2，x1x2＝2. 8k＋98k＋9则|CD|＝

481＋k11＋2·x3＋x42－4x3x4＝. k9＋8k28＋9k29＋8k21117∴＋＝＋＝. 22|AB||CD|48k＋148k＋14811综上可得＋为定值．

|AB||CD|4．已知抛物线C：y2＝4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C于点P1，P2和点P3，P4，线段P1P2，P3P4的中点分别为M1，M2. (1)求线段P1P2的中点M1的轨迹方程．

(2)求△FM1M2面积的最小值．

(3)过M1，M2的直线l是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

解：(1)由题设条件得焦点F(1,0)，

设直线P1P2的方程为y＝k(x－1)，k≠0. y＝kx－1，联立2得k2x2－2(2＋k2)x＋k2＝0，

y＝4x，

则Δ＝[－2(2＋k2)]2－4k2·k2＝16(1＋k2)＞0. 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，设M1(xM1，yM1)，

k

(3)当k≠±1时，由(2)知直线l的斜率为k′＝，

1－k2∴直线l的方程为y＋2k＝k22(x－2k－1)，

1－k即yk2＋(x－3)k－y＝0，(*) 当x＝3，y＝0时，方程(*)对任意k(k≠±1)均成立，

即直线l过定点(3,0)．

当k＝±1时，直线l的方程为x＝3，也过定点(3,0)．

综上可知，直线l恒过定点(3,0)．