3.4 生活中的优化问题举例优质公开课教案

§1.4生活中的优化问题举例教学设计

教学目标：

1．

使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用

2．

提高将实际问题转化为数学问题的能力

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学过程：

一．创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

二．新课讲授

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

三．典例分析

例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的2竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为

求导数，得

。

。

令，解得舍去）。

于是宽为当因此，时，是函数。

<0；当时，>0. 的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是

令当当半径当半径（1）半径为时，时，时， 解得 ；当它表示

它表示（时，舍去）

．

单调递增，即半径越大，利润越高；

单调递减，即半径越大，利润越低．

，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶cm

时，利润最小，这时子的成本，此时利润是负值．

（2）半径为cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的

成本恰好相等；当当时，时，利润才为正值．

，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cmcm

时，利润最小．

时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为例3．磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．

（1）

是不是越小，磁盘的存储量越大？

（2）

为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

×

（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．

（2）为求的最大值，计算．

令，解得

当时，；当时，．

因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

例4．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的

材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

2S=2πRh+2πR

由V=πRh，得2，则

S(R)= 2πR+ 2πR=2+2πR

2令

+4πR=0 解得，R=，从而h====2

即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

提示：S=2+h=

V(R)=)=0R=

．

四．课堂练习

1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积）

1045．课本 练习课本P 五．回顾总结

1．利用导数解决优化问题的基本思路：

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。

六．布置作业

课本P

104 5，6 例4．汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：

（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？

（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？

分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题．

通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度．

（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．

解：因为

这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜．

率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90约为 L．

例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积

．

令

并求得V(40)=16 000 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40，

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm

解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

．（后面同解法一，略）

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．

3事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

例6．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)

（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？

变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？

分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

解：收入，

利润

令，即，求得唯一的极值点

答：产量为84时，利润L最大

例7．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.

解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b

∴AD=h+b, ∴S=

①

∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b

②

由①得b=h,代入②,∴l=

l′==0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0.

∴h=时，l取最小值，此时b=

例8．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y

＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．

【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x

＞0，y

＞0，

则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），

在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜

x

＜2．

设矩形的面积为S，则S

＝2 x（4－x2），0＜

x

＜2．

由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x

＝，易知

x

＝是S在（0，2）上的极值点，

即是最大值点，

所以这种矩形中面积最大者的边长为和．

【点评】

应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．

练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？

【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，

由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有

y

＝×30＋×40，y′＝－＋20，

令y′＝0，得x

＝15，且y″＝，f″(15)＞0，

所以当x

＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，

故 当x

＝15时，y取得最小值，此时进货次数为 ＝10（次）．

即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？

【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，

则CD

＝．

，

y

＝500（50－x）＋700＝25000－500 x

＋700y′＝－500＋700 ·

(x

2＋1600)· 2 x

＝－500＋，

令y′＝0，解得x

＝．

答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．

【点评】

当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）．