3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课教案推荐

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

教学分析

直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.

本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面教学目标: （一）知识与技能

1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

2、掌握直线的斜率、倾斜角之间的转化关系

3、通过学习直线倾斜角与斜率关系，培养学生观察、探索数学能力。

（二）情感态度与价值观

1、通过探究直线斜率与倾斜角，初步体验“数形结合”

2、通过师生、生生的合作交流，激发其求知欲，培养探索精神. 教学重点、难点：

重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求过两点的直线的斜率公式. 难点：理解倾斜角和斜率之间的关系

教学工具：计算机多媒体、实物投影仪

直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要.【提出问题】

在平面直角坐标系中，直线l经过点P. 教学过程

问题1：直线l的位置能够确定吗？

提示：不能．

问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？

提示：无数条．

问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？

提示：倾斜程度不同．

【导入新知】

1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.

2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 3．倾斜角与直线形状的关系

倾斜角

直线

【化解疑难】

对直线的倾斜角的理解

(1)倾斜角定义中含有三个条件：

①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．

(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．

(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．

(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.

【提出问题】

升高量日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”前进量32比较，前者更陡一些，因为坡度＞. 22

α＝0°

0°<α<90°

α＝90°

90°<α<180°

问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？

提示：可以．

问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？

提示：可以．

问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？

提示：与倾斜角的正切值相等．

【导入新知】

1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α. y2－y12．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x2－x1x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．

3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．

【化解疑难】

1．倾斜角α与斜率k的关系

(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．

(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．

2．斜率公式

(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，

如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母y1－y2y2－y1必须是x1－x2，即k＝＝. x1－x2x2－x1(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．

【例1】

(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(

) A．30°

B．60°

C．30°或150°

D．60°或120°

(2)下列说法中，正确的是(

) A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α

B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α

C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0 D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα

【解析】

(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.

(2)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D. 【答案】

(1)D

(2)D 【类题通法】

求直线的倾斜角的方法及两点注意

(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．

(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 【活学活用】

1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(

) A．[0°，90°)

B．[90°，180°)

C．(90°，180°)

D．(0°，180°) 解析：选C

直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．

2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(

) A．α＋45° B．α-135° C．135°-αD.当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α-135°

解析：选D

当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，故应选D.

【例2】(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；

(2)过点P(－2，m)，

Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；

(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．

【解析】(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，

－3－y－3－y又k＝，由＝－1，得y＝－5. 2－42－4

4－m(2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1. m＋2(3)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．

－2－13当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0. m－3m－3【答案】

(1)－5

(2)1

(3)0 【类题通法】

利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

【活学活用】

3．若直线过点

(1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

解析：选A

设直线的倾斜角为α，直线斜率k＝又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°. y【例3】

已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．

x【解析】

如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．

y2y由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值为2，x3x2最小值为. 3＋3－233＝，∴tan α＝. 334－1

【类题通法】

y2－y1根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即x2－x1直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．

【活学活用】

y＋14．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．

x＋1

y＋1y－－解：＝x＋1x－－的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．

∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，

∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．

51∵kNA＝，kNB＝－，

361y＋15∴－≤≤. 6x＋13∴y＋115的取值范围为[－，]．

63x＋1

【典例】

已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围________；直线l的斜率k的取值范围________．

【解析】

如图，由题意可知kPA＝4－02－0＝－1，kPB＝＝1，则直线l的倾斜角介－3－13－1于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，

∴直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.

【答案】

45°≤α≤135°

k≤－1或k≥1

【易错防范】

1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA. 2.如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．