习题3.1教案及板书设计

3．1.1 倾斜角与斜率

1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系．

2．掌握过两点的直线的斜率计算公式，并会简单的应用．

1．倾斜角

定义

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，____轴正向与直线l向____方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．

规定

记法

当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为____．

α

图示

范围

(1) 作用

(2) 0°≤α<180°

用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的________ 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的______，二者缺一不可

理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．

【做一做1】

如图所示，直线l的倾斜角为(

)

A．45°

B．135°

2．斜率(倾斜角为α)

定

义

α≠90°

α＝90°

记法

范围

公式

作用

斜率不存在

k，即k＝______ ____ 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________ 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的________

C．0°

D．不存在

一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率

①当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于x轴；

②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率；

③直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α<90°时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当90°<α<180°时，斜率越大，倾斜程度也越大；

④k>00°<α<90°；k＝0α＝0°；k<090°<α<180°；k不存在α＝90°. 【做一做2－1】

已知直线l的倾斜角α＝30°，则其斜率k的值为(

) A．0

B.3

3

C．1

D.3 【做一做2－2】

已知P1(3,5)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k等于(

) A．2

B．1

1C.

2

D．不存在

答案：1．x

上

0°

倾斜程度

倾斜角

【做一做1】

B 2．正切值

tan α

R

【做一做2－1】

B 【做一做2－2】

A

1．倾斜角

剖析：(1)理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：①角的顶点是直线与x轴的交点；②角的一条边的方向是指向x轴的正方向；③角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向．

(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．

(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴正方向的倾斜程度．

(4)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．

2．斜率公式

剖析：(1)直线的斜率公式表明直线相对于x轴正向的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，这比使用几何的方法先求倾斜角，再求斜率的方法简便．

(2)直线的斜率与直线上两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，这就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y1－y2y2－y1y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝. x1－x2x2－x1(3)当x1＝x2时，斜率不存在．

(4)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．

3.已知直线的斜率求直线的倾斜角

剖析：本节中仅要求求特殊的倾斜角，因此突破方法是掌握特殊的斜率对应的倾斜角即可，其对应情况如下表所示．

y2－y1

倾斜程度

x2－x1

斜率k

倾斜角α

0 0°

3

330°

1 45°

3 60°

不存在

90°

－3 120°

－1 135°

－3

3150°

3由上表可见，当直线的斜率k＝0，±，±1，±3或斜率k不存在时，其倾斜角均是特3殊角．

题型一：已知两点坐标求倾斜角和斜率

【例1】

求经过下列两点的直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角．

(1)(－3,0)，(－2，3)；

(2)(1，－2)，(5，－2)；

(3)(3,4)，(－2,9)；

(4)(3,0)，(3，3)．

反思：已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求倾斜角和斜率的步骤：(1)当x1＝x2时，倾斜y1－y2y2－y1角α＝90°，斜率不存在；(2)当x1≠x2时，先求斜率k＝＝，再根据k的值确定x1－x2x2－x1倾斜角α的大小．

题型二：三点共线问题

【例2】

若三点A(2，－3)、B(4,3)、C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝__________. 反思：用斜率解决三点共线问题的依据是：A，B，C三点共线kAB＝kAC(kAB＝kBC)．

题型三：已知一个点和斜率画直线

【例3】

在平面直角坐标系中，画出经过点P(2,1)且斜率分别为0,1的直线l1，l2. 反思：已知过点P(m，n)且斜率为k的直线l，在平面直角坐标系中画l的步骤：(1)设y0－nQ(x0，y0)是l上的一点；(2)利用斜率公式得k＝；(3)整理得y0＝k(x0－m)＋n，取x0＝x0－m0(或y0＝0)解得y0(或x0)的值，得点Q的坐标(0，y0)[或(x0,0)]；(4)在平面直角坐标系中，描出点P和Q，过点P，Q的直线就是所要画的直线l. 题型四：易错辨析

易错点

错记斜率公式

【例4】

过点P1(3，－1)和P2(4,2)的直线的斜率k＝__________. 2－－1错解：k＝＝－3. 3－4y2－y1错因分析：错解中，错把斜率公式记为k＝. x1－x2y1－y2y2－y1反思：斜率公式k＝＝，其特点是：①分子是纵坐标的差；②分母是横坐标x1－x2x2－x1的差；③两个差的“顺序”相同．

答案：【例1】

解：(1)直线的斜率k＝此直线的斜率为3，倾斜角为60°. 3－0＝3＝tan 60°，

－2＋3

－2＋2(2)直线的斜率k＝＝0，此直线的斜率为0，倾斜角为0°. 5－19－4(3)直线的斜率k＝＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°. －2－3(4)因为两点横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°. 【例2】

6 y1－1【例3】

解：设Q1(x1，y1)是直线l1上的一点，则有＝0，即y1＝1，于是Q1(x1,1)．令x1－2x1＝0，则Q1(0,1)．过点P及(0,1)的直线即为l1，如图所示．

y2－1同理，由1＝，得y2＝x2－1，令y2＝0，则x2＝1，于是得直线l2上的一点Q2的坐x2－2标(1,0)过点P及Q2(1,0)的直线即为l2，如图所示．

【例4】

3

1．过点(－3,0)和点(－4，3)的直线的倾斜角是(

) A．30°

B．150°

C．60°

D．120°

2．

若三点A(1,2)，B(3，－2)，C(0，m)共线，则实数m＝__________. 3．已知两点P(m,2)，Q(1＋m,2m－1)所在直线的倾斜角为45°，则m的值等于__________．

4．已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3，－5)，求证：这三点在同一条直线上．

5．在平面直角坐标系中，画出经过点P(－1,3)且斜率分别为－1,2的直线l1，l2.

答案：1．D

2.4

3.2 4．证明：由斜率公式，得kAB＝11353＝2，kAC＝＝2，

5131∴kAB＝kAC，且AB与AC都过点A，

∴直线AB，AC斜率相同，且过同一点A，

∴A，B，C这三点在同一条直线上．

5. 解：设Q1(x1，y1)是直线l1上的一个点，则有y13＝－1，即y1＝－x1＋2令y1＝0，x11有x1＝2，则Q1的坐标为(2,0)，过点P及Q1(2,0)的直线即为直线l1，如图所示．

同理，设Q2(x2，y2)是直线l2上的一个点，

由y23＝2，得y2＝2x2＋5，令x2＝0，得y2＝5，则Q2的坐标为(0,5)过点P及Q2(0,5)x21的直线即为直线l2，如图所示．