三角形中的角平分线教学内容概述

北师大版

数学

八年级下

1.4 角平分线（1）

教学设计

课题

1.4 角平分线（1）

单元

第一章

学科

数学

年级

八年级

知识与技能：了解角平分线的性质及判定，会利用角平分线的性质和判定进行简单的推理、学习

目标

判断与计算；

过程与方法：在探究发现角平分线的性质和判定的过程中，培养学生的观察力、实验推理能力；

情感态度与价值观：使学生在学习中体验几何发现的乐趣，在实际操作中感受几何美. 重点

难点

角平分线性质和判定的证明

角平分线性质和判定的应用

教学过程

教学环节

教师活动

同学们，在上前面的学习中，我们学习了线段的垂直平分线的有关内容，下面请同学们回答：

问题1、.什么是角平分线？

答案：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两新知导入

个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．

问题2、在《生活中的轴对称》这一章中，我们通过折纸，得到了角平分线的什么性质呢？

答案：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

追问：你能证明这一结论吗？

学生活动

学生根据老师的提问回答问题. 设计意图

通过回顾角平分线的定义和性质，为证明角平分线的性质定理、探究判定定理做好铺垫

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.

求证：PD＝PE. 学生在老师的引导下进行证明.

新知讲解

学生归角平证明角平分线的性质定理.

归纳角平

归纳：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

分线的性质定理，并将其转化为符号语言.

分线的性质定理，并掌握其几何语言.

应用角平分线的性

几何语言：

∵点P在∠AOB

平分线上，

且PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE. 练习1：如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是(

)

学生独立完成练习题，然后班内交流，质解决实并认真听老师的点评.

际问题.

探究角平分线的判定定理.

归纳角平分线的判

A．PC⊥OA，PD⊥OB

B．OC＝OD

C．∠OPC＝∠OPD

D．PC＝PD

答案：D 想一想：你能写出定理：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明. 答案：逆命题：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．是真命题. 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．

求证：OP平分∠AOB.

学生回答老师的问题，然后在老师的引导下进行证明.

学生归纳角证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，

∴∠ODP＝∠OEP＝90°，

∵PD＝PE，OP＝OP，

∴Rt△DOP≌

Rt△EOP ( HL ). ∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴OP平分∠AOB.

归纳：角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．

平分线的判定定理，并将其转化为符号语言.

定定理，并掌握其几何语言.

进一步体会角平分线性质定理及判定定理之间的关系.

应用角平分线的判定定理解决实际问题.

几何语言：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

且PD=PE，

∴点P在∠AOB

的平分线上. 追问：角平分线的性质定理及判定定理之间有什么关系呢？

答：它们是一组互逆定理. 温馨提示：

角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径；

角平分线的逆定理是证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一. 练习2：如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是(

)

学生思考并回答问题.

学生独立完成例题及练习题，然后班内交流，并认

A．线段CD的中点

B．CD与过点O作CD的垂线的交点

C．CD与∠AOB的平分线的交点

D．以上都不对

答案：C 例1:如图,在△ABC中,∠BAC＝60°,点D在BC上,AD＝10, DE丄AB,DF丄AC ,垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长. 真听老师的点评.

证明：∵DE丄AB,

DF丄AC，垂足分分别为E，F, 且DE＝DF，

∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等

的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝30°. 在

Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，

∴DE＝11AD＝×10＝5 (在直角三角形中，如果一个锐22角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 练习3：如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.

证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，

∴∠DEB=∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中，

∵∠BDE=∠CDF，∠DEB=∠DFC，BE=CF，

∴△BDE≌△CDF(AAS)．

∴DE=DF. 又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，

∴AD平分∠BAC. 1．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是(

) 学生自主完借助练成课堂练习，习，检测做完之后班级内交流. 学生的知识掌握程度，同时

A．1

B．2

C．3

D．4 课堂练习

答案了：B 2．在正方形网格中，∠AOB和点P，Q，M，N的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(

) 便于学生巩固知识.

A．M

B．N

C．P

D．Q

答案：A 拓展提高

如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，在师的引导提高学生

交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，求△DEB的周长．

下完成问题. 对知识的应用能力

解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°. 在Rt△ACD和Rt△AED中，

∵

CD＝ED，AD＝AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．

∴AC＝AE. 又∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB. 又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB. ∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm. ∴△DEB的周长为6 cm. 下面让我们一起赏析一道中考题：

（2018·大庆）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（

）

中考链接

在师的引导下完成中考题. 体会所学知识在中考试题运用.

A．30°

B．35°

C．45°

D．60°

答案：B 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

问题1、说一说角平分线的性质定理？

课堂总结

答案：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

问题2、说一说角平分线的判定定理？

答案：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．

基础作业

作业布置

教材第30页习题1.9第2题

能力作业

教材第30页习题1.9第3、4题

板书设计

借助板学生课下独立完成. 检测课上学习效果. 跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识. 帮助学生加强记忆知识.

课题：1.4 角平分线（1）

1、性质定理：

2、判定定理：

教师板演区

学生展示区

书，让学生知道本节课的重点。