认识分式方程第一课时教学实录

5.1认识分式方程

【知识与技能】

1.理解分式方程的概念; 2.会通过设适当的未知数并根据等量关系列出分式方程；

3.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤. 【过程与方法】

通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想. 【情感态度】

在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力. 【教学重点】

掌握分式方程的解法、解、分式方程要验根. 【教学难点】

掌握分式方程的解法、解、分式方程要验根. 教学过程

一.情景导入，初步认知

在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？

分析：这一问题中有哪些已知量和未知量？

已知量：造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务

未知量：原计划每月固沙造林多少公顷

这一问题中有哪些等量关系？

实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷

原计划完成的时间-完成实际的时间=4个月

我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要_____个月，实际完成一期工程用了______个月，根据题意，可得方程____________. 二.思考探究，获取新知

探究1：分式方程的概念

问题：甲.乙两地相距

1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用

9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的

2.8 倍．

（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？

（2）如果设特快列车的平均行驶速度为

x km/h，那么

x 满足怎样的方程？

（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需

y h，那么

y 满足怎样的方程？

问题：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800 元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多

20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为

x 人，那么

x 满足怎样的方程？

【归纳结论】

分母中中含有未知数的方程叫做分式方程

探究2：分式方程的解法

1.解下列分式方程：

【归纳结论】1.解分式方程的一般步骤：

（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；

（2）解这个整式方程；

2.下列哪种解法准确？

解分式方程

解法一：

将原方程变形为方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2

解这个方程，得：x=4. 【归纳结论】

增根概念：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根；

认识增根：

①

增根是去分母后所得的根；

②

增根使最简公分母的值为

；

③

增根（填“是”或“不是”）原方程的根. 三.运用新知，深化理解

A．2个

B.3个

C.4个

D.5个

答案：B. （）是分式方程,（）是整式方程. 3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原定是x人，那么

x 满足怎样的分式方程?

解：方程两边都乘以y（y-1），

得2y2+y（y-1）=（y-1）（3y-1），

2y2+y2-y=3y2-4y+1，3y=1，

解得y=1/3. 检验：当y=1/3时，y（y-1）=1/3×1/3-1=-2/9≠0，

∴y=1/3是原方程的解，

∴原方程的解为y=1/3.

解：两边同时乘以（x+1）（x-2），

得x（x-2）-（x+1）（x-2）=3．

解这个方程，得x=-1．

检验：x=-1时（x+1）（x-2）=0，x=-1不是原分式方程的解，

∴原分式方程无解．

（3）

解：方程的两边同乘（x-1）（x+1），

得3x+3-x-3=0，解得x=0．

检验：把x=0代入（x-1）（x+1）=-1≠0．

∴原方程的解为：x=0. （4）

解：方程的两边同乘（x+2）（x-2），得2-（x-2）=0，解得x=4．

检验：把x=4代入（x+2）（x-2）=12≠0．∴原方程的解为：x=4.

四.师生互动,课堂小结

1.什么样的方程是分式方程？

2.解分式方程的一般步骤：

（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；

（2）解这个整式方程；

（3）检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母的值不等于零的根是原分式方程的_____，使最简公分母的值等于零的根是原方程的_____.