正多边形的有关计算教学设计(第二课时)

24.3 正多边形的有关计算

教学目标

1. 了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题。

2. 通过正多边形与圆的关系的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移的能力。

3. 通过探究正多边形在生活中的实际应用，增强对生活的热爱。

重点：1.正多边形的有关概念，特殊正多边形的有关计算。

2.掌握圆内接正多边形的半径、边心距、边长三者之间的联系。

难点：1.正多边形的半径、中心角、边心距、边长之间关系的正确理解与计算。

2.会作圆和正多边形的辅助性，构造直角三角形，运用勾股定理。

课前准备

师：多媒体课件、圆形纸片

生：直尺、圆规、圆形纸片

教学过程

一、复习回顾

，引入新课

问题1：观察下面多边形，找出它们的边、角有什么特点？

（幻灯3）

【设计意图】让学生观察、归纳出正多边形的特点

【教学备注】

问题2：观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出正多边形来吗? （幻灯4）

问题3：圆具有哪些对称性？（幻灯5）

二、目标导学,探索新知

目标导学1：理解正多边形的定义（幻灯6~8）

问题1： 什么叫正多边形？

问题2：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

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【教师强调】判断一个多边形是否是正多边形，必须同时具备两个必备条件：①各边相等；②各角相等。二者缺一不可。

问题3：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？

【教师强调】正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形。

目标导学2：了解正多边形和圆的密切关系，借助圆可以画正多边形（幻灯9~11）

问题1：怎样把一个圆进行四等分？

问题2：依次连接各等分点，得到一个什么图形？

归纳：像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆，这个正多边形也称为这个圆的内接正多边形。

问题3：刚才把圆进行四等分，依次连接各等分点，得到一个正四边形；你可以从哪方面证明？

练一练：把⊙O 进行 5 等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE ，

:（1）填空。

(2)你认为这个五边形ABCDE是正五边形，简单说说理由。

目标导学3：正多边形的有关概念及性质（幻灯12~13）

问题1：类比圆的相关概念，观察下面的图，你能说出什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角吗？

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【设计意图】意在暗含正多边形有一个辅助外接圆，为正多边形和圆有密切关系做好铺垫。

【教学提示】可借助圆规，或提示学生通过折叠得出结果。

【教学提示】从弧相等—弦相等—边相等；弧相等—圆周角相等—角相等，从而根据正多边形的定义得证。

【教学提示】教师借助图形进行类比概念教学.

问题2：正多边形的内角、中心角、外角怎样计算？请完成下面填空：

正多边形边数

3 4 6 n 内角

中心角

外角

【教学提示】正多边形的有关计算问题转化到以正多边形半径、边心距、弦的一半为边的直角三角形中去解决。

【教学提示】关键是先算出各正多边形的中心角的一半，在直角三角形中去解决。这里的直角三角形都是含30°、45°60°的特殊角，可利用三边之比快速解决。当然也可以用勾股定理建立方程解决。

问题3：正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？

归纳：中心角=外角=360。

n目标导学4：正多边形的有关计算

（幻灯14~17）

填一填：如图、已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF，回答下面问题：

①它的中心角等于 度

；

② OC BC (填＞、＜或＝）；

③△OBC是什么三角形？

④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的 倍？

⑤圆内接正n边形面积公式：正n边形的面积=

。

FAO4mEDCrMB

例1：（教材P106例）有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1m2）.

OFAO4mEDC中心角一半半径R边心距r

rM

B

C边长一半M第

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分析：由于亭子地基是正六边形，如图所示，所以它的中心角等于3600 ÷6＝600 ，△OBC是等边三角形，从而得到：正六边形的边长等于它的半径。

解：连接半径OB、OC,过点O作OMBC于M，因此,亭子地基的周长l4624m。1122

在RtOMB中，MB=2BC242(m),利用勾股定理，可得边心距r4223(m).

1

亭子的面积S=1

lr242341.6（m2).22

三、巩固训练，熟练技能

见幻灯18、19、20

四、归纳总结，板书设计（幻灯21）

正多边形

五、课后作业，目标检测

正多边形的定义与对称性

①

正多边形的内角正多形的有

关概念及性质

(n2)180

n0②

中心角＝360÷n

=正多边形的

有关计算

通常添加辅助线的方法为：连半径，作边心距

教学反思

可取之处：正多边形是一种特殊的多边形，在生产生活中应用广泛。本节课抓住正多边形的核心概念，从学生已有的知识出发，将圆的有关概念与正多边形诸多概念进行对比学习，学生易于理解和掌握，这样设计突出了知识间的联系，关注学生的最近发展区，知识不枯燥乏味并且突出重点。利用圆的垂径定理，将正多边形的半径、边心距、边长一半转化为直角三角形的有关计算问题，难点有效突破，充分体现了转化的数学思想。让学生感受转化思想的魅力，精心设计练习，具有针对性，并将知识点结合习题有效落实，最终掌握解题的方法和技巧，落实数学思想方法。

不足之处：有的学生利用正多边形的定义去判定一个多边形是不是正多边形，只考虑其中一个必备条件；在正多边形的有关概念只去死记硬背，而不去结合图形记忆。

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