三角形中的角平分线教学设计和教学实录

第一章

三角形的证明

第四节

角平分线

第2课时

三角形的三条内角平分线

一、学情分析

学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，但是掌握的还不够牢固。在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。

二、教学任务分析

【教学目标】

1．在角平分线的基础上归纳出三角形的三条内角平分线的性质。

2．能够运用三角形的三条内角平分线的性质解决实际问题。

【教学重点、难点】

重点：在角平分线的基础上归纳出三角形的三条内角平分线的性质。

难点：能够运用三角形的三条内角平分线的性质解决实际问题。

三、教学过程分析

本节课设计了八个教学环节：第一环节：设置情境问题，搭建探究平台；第二环节：自主探究；第三环节：例题讲解；第四环节：合作探究；第五环节：当堂检测；第六环节：课堂小结；第七环节：分层作业。

第一环节：设置情境问题，搭建探究平台

在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、AC三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？

1

从而引出课题：三角形的三条内角角平分线。

第二环节：自主探究

活动：折一折。拿出三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你发现了什么？

发现1：三角形的三条角平分线相交于一点。

过交点作三边的垂线段，并测量。你又发现了什么？

发现2：过交点作三角形三边的垂线段相等。

验证：由此得出猜想命题，并引导学生写出已知，求证和证明过程。

已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．

求证：P点在∠BAC的角平分线上．

PD=PE=PF 证明：

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．

同理：PE=PF．

∴PD=PF．

∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．

∴△ABC的三条角平分线相交于点P．

在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢? （PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）

于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

引导学生写出该定理的几何语言。

几何语言：

∵

△ABC的角平分线BM、CN相交于点P

2 ADNPBECMF

PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC

∴

P点在∠BAC的角平分线上．

PD=PE=PF

第三环节：例题讲解

ADNPBECMF例1：如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．

(1)已知CD=4 cm，求AC的长；

(2)求证：AB=AC+CD．

自学例1，学生讲解题思路。

例2：

如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP、BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4，

AECB(1)求点O到△ABC三边的距离和. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.

例2由学生独立完成，并板书。

第四环节：合作探究

D1.在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、AC三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？

2.在一个三角形居住区周围修有一个学校P，P到AB、BC、AC三边的距离都相等，请在三角形居住区标出学校P的位置，P在何处？

第五环节：当堂检测

1. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（

）

A.△ABC 的三条中线的交点

B.△ABC 三边的中垂线的交点

3

C.△ABC 三条角平分线的交点

D.△ABC 三条高所在直线的交点

2.

已知△ABC，求作一点P，使P到∠CAB的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（

）

A. P为∠A，∠B两角平分线的交点

B. P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点

C. P为AC，AB两边上的高的交点

D. P为AC，AB两边的垂直平分线的交点

3. 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.

求证：CF=EB. （选做题）

第六环节：课堂小结

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．

第七环节：分层作业

必做题：

A组：课本P32

习题1.10的2、3题

B组：课本P32

习题1.10的1、2题

C组：课本P31

随堂练习

四、板书设计

§1.4.2

三角形的三条内角平分线

定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

几何语言：∵

△ABC的角平分线BM、CN相交于点P PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC

∴

P点在∠BAC的角平分线上．

PD=PE=PF

ADNPBE4 MFC