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第二章

二次函数知识整理及基础训练

【知识整理】

1.

定义：形如：yax2bxc（其中a,b,c是常数，且a≠0）的函数是二次函数。

2.

本质：二次函数是用自变量的二次式表示的函数。

3.

图象：二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴和抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

4.

二次项的系数a对抛物线的影响：

当

a>0时,抛物线的开口向上, 当

a<0时,抛物线的开口向下；

a越大开口越小, a越小开口越大.

综上所述：a决定抛物线的开口大小和方向，即a决定抛物线的形状。

5.

一次项的系数b对抛物线的影响：

当b=0时,抛物线的对称轴是y轴；

当a,b同号时,对称轴在y轴的左边；

当a,b异号时,对称轴在y轴的右边。即“左同右异”

综上所述：a,b决定抛物线的左右位置。

6.

常数项c对抛物线的影响：

当c>0时,抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；

当c<0时,抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴；

当c=0时,抛物线经过原点. 综上所述：c决定抛物线的上下位置。

7.

判别式⊿对抛物线的影响：

当⊿>0时,抛物线与x轴有两个交点；

当⊿=0时,抛物线与x轴有一个交点,即顶点在x轴上；

当⊿<0时,抛物线与x轴没有交点。

综上所述：⊿决定抛物线与x轴交点的个数。

8.

当

a>0且⊿<0时, 二次函数当

a<0且⊿<0时, 二次函数9.

当x=0, 二次函数yax2bxc的值恒为正；

yax2bxc的值恒为负。

yax2bxc的值为c, 当x=1, 二次函数yax2bxc的2值为abc, 当x=-1, 二次函数yaxbxc的值为a210.

二次函数yaxbxc的对称轴为直线xbc,……

b，顶点坐标为2ab4acb22a,4a

- 1 -

11.

二次函数的解析式有如下三种形式：

12.

当

a>0时，若xbb，y随着x的增大而减小，若x，y随着x的增大而增2a2abbx，y随着x的增大而增大，若，y随着x的增大2a2a大，当

a<0时，若x而减小。

4acb213.

当

a>0时，二次函数yaxbxc有最小值，最小值为4a2

24acb2当

a<0时，二次函数yaxbxc有最大值，最大值为4a

也可以把x1４.抛物线yb2代入yaxbxc中求最大值和最小值。

2aax2bxc在x轴上截得的线段的长度就是方程ax2bxc0的两。

a个解差的绝对值【典型例题】

【例1】二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，c）在（ ）

a A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例2】直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（

）

A.(0，0)

B.(1，－2)

C.(0，－1)

D.(－2，1) 【例3】已知抛物线y=2125x+x-．

22- 2 -

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【例5】把二次函数y=2x－4x＋5化成y=a（x－h）＋k的形式是 ，其图象开口方向 ，顶点坐标是 ，当x＝ 时，函数y有最 值，当x 时，y随x的增大而减小。

【例6】与抛物线y（

）

A．yC．y2212x3x5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是2B．y1235xx

422

12x7x8

212x6x10

2D．yx23x5

【例7】二次函数yx2bxc的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（

）

A．x＝4

B. x＝3

C. x＝－5

D. x＝－1。

【例8】抛物线yx2mxm21的图象过原点，则m为（

）

A．0

B．1

C．－1

D．±1 y【例9】已知反比例函数yk的图象如右图所示，则二次函数xy2kx2xk2的图象大致为（

）

OxyyyyOxOxOxOx

A

B

C

D 1yx22【例10】

如果一条抛物线经过平移之后能够和抛物线3重合，且顶点坐标为（4，2），则它的解析式为

- 3 -

【基础训练】

一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）

1、下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量） （ ）

A、y121x B、yx21 C、y2 D、ya2x2

8x2、当m不为何值时，函数y(m2)x24x5（m是常数）是二次函数（ ）

A、-2 B、2 C、3 D、-3 3、抛物线y=x2-1的顶点坐标是( )．

A、(0，1) B、(0，一1) C、(1，0) D、(一1，0) 4、yx22的对称轴是直线（ ）

A、x=2 B、x=0 C、y=0 D、y=2 5、二次函数yx24x7的最小值为（ ）

A、2 B、-2 C、3 D、-3 6、经过原点的抛物线是（ ）

A、y=2x2+x B、y（2x1)2 C、y=2x2-1 D、y=2x2+1 7、已知二次函数y（3x2)1，当x=３时,y的值为（

）

Ａ、４

Ｂ、－４

Ｃ、３

Ｄ、－３

8、已知一个矩形的面积为24cm,其长为ycm,宽为xcm，则y与x之间的函数关系的图象大致为（

）

9、设抛物线y=x2+8x-k的顶点在x轴上，则k的值为（ ）

A、-16 B、16 C、-8 D、8 10、下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减小的函数是（ ）

A、y=-3x B、y=4x C、y

- 4 - 222 D、y=-x2

x

二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。每小题3分，共24分）。

11、二次函数y=－122x+3的开口方向是_________.

212、抛物线y=x2+8x－4与直线x＝4的交点坐标是__________. 13、若二次函数y=ax2的图象经过点（－1，2），则二次函数y=ax2的解析式是＿＿＿.

14、函数y32(x1)的自变量x的取值范围是

；

415、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点

C(0，3)，则二次函数的解析式是

．

16、若函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2，b），则k＝＿＿，b＝＿＿. 217、函数y=9－4x，当x=_________时有最大值________. 18、已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，

则a 0,b 0,c 0。（填“<”

或“>”）

2

Oyx

三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）

19、求函数.y=4x2+24x+35的图像的对称轴、顶点坐标及与x轴的交点坐标.；

20、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的表达式；

21、已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、N（2，0），且经过点（1，2），求这个函数的表达式；

- 5 -

22、已知抛物线的顶点为（1，-1），且过点（2，1），求这个函数的表达式；

23、已知一个二次函数的图象经过点（1，-1），（0，1），（-1，13），求这个二次函数的解析式；

四、勇敢闯一闯：（本大题共 2小题，每小题 8分，共16分。）

24、某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．

（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；

（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？

- 6 -

25、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，

分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y. 用含y的代数式表示AE. 求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围. 设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值. - 7 - D B F

A E C

(1)

(2)(3)

参考答案

一、1、A 2、B 3、B 4、B 5、C 6、A 7、A 8、D 9、A 10、A 二、11，下；

12，(－4，－20)；

13，y=2x2；

14，全体实数；

15，y=x2－4x+3；16，k＝9，b＝12；

17，0、9；

18，＜

＜

＞

2219、对称轴是直线x=-3，顶点坐标是(-3，-1)，解方程4x+24x+35=0，得x1=，x2=.故它与x轴交点坐标是(，0)，(，0) 20．答案不唯一，如yx24x3 、

52725272- 8 -