直角三角形的性质与判定优秀教学设计说课稿

1.2 直角三角形

【教学目标】

1．知识与技能

（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

2．过程与方法

（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力。

3．情感态度与价值观

体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。

【教学重点】

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。

【教学难点】

应用定理解决与直角三角形有关的问题。

【教学方法】

讲授法

【课时安排】 2课时

第一课时

【教学目标】

1．知识与技能

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。

2．过程与方法

进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。

3．情感态度与价值观

在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

【教学重点】

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。

【教学难点】

结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

【教学过程】

教学过程

教学随笔

第一环节：创设情境，引入新课

通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。

[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，

∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢? 解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10 cm，

∴BC＝1B2

AB＝12

×10＝5 cm．

B1∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90°

又∵∠A+∠B＝90°

∴∠BCB1 ＝∠A＝30°

AC1C在Rt△ACB12

BC＝12

×5＝

51中，BB1＝2

cm＝2．5 cm．

∴AB1＝AB＝BB1＝10—2.5＝7.5(cm)．

∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30°

∴B111C1 ＝2

AB1＝2

× 7.5＝3.75(cm)．

解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30°角的直角三角形的性质”．由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明。

教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗? 请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法．

第二环节：讲述新课

阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．

（1）．勾股定理及其逆定理的证明．

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．

求证：a2+b2＝c2．

证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．

∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

A∴四边形ACDE是直角梯形．

∴S梯形11ACDE＝2

(a+b)(a+b) ＝

2

(a+b)2．

∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，

AB＝BE．

CB∴S△ABE＝12

c2

A∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，

cEb∴12

(a+b) 2＝

1112

c2 + 2

ab + 2

ab,

即1

a2 + ab + 1

b21CaBD22＝2

c2 + ab, ∴a2+b2＝c2

【板书设计】

1.2 直角三角形（一）

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．

求证：a2+b2＝c2．

证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．

∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

∴四边形ACDE是直角梯形．

11∴S梯形ACDE＝

(a+b)(a+b) ＝

(a+b)2．

22∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，

AB＝BE．

A12∴S△ABE＝

c

2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，

1111∴

(a+b) 2＝

c2 +

ab +

ab,

2222111即

a2 + ab +

b2＝

c2 + ab, 222bCcEaBD∴a2+b2＝c2

【教学反思】

第二课时

【教学目标】

1．知识与技能

能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。

2．过程与方法

进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。

3．情感态度与价值观

进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

【教学重点】

能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理。

【教学难点】

进一步理解证明的必要性。

【教学过程】

教学过程

第一环节：复习提问

1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？

教学随笔

2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。

3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。

我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．

要求学生完成，一位学生的过程如下：

已知：在△ABC中，

AB=AC．

求证：∠B=∠C．

证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，

∴∠ADB=∠ADC=90°

又∵AB=AC，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD．

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如图所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等)”

．

也有学生认同上述的证明。

教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”，从而引入新课。

第二环节：引入新课

（1）．“HL”定理．由师生共析完成

已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．

求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

证明：在Rt△ABC中，AC=AB2一2AA'BC(勾股定理)．

又∵在Rt△

A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．

AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．

∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．

教师用多媒体演示：

定理

斜边和一条直角边对应相等BCB'C'的两个直角三角形全等．

这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．

从而肯定了第一位同学通过作底边的高证明两个三角形全等，从而得到“等边对B等角”的证法是正确的．

E

练习：判断下列命题的真假，并说明理2由：

(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；

AD1C(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；

(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全

【板书设计】

1.2 直角三角形（二）

已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线且BD—B'D' (如图)．

求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．

A'A证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，

∵BD=B'D',BC=B'C', DD'∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C ' (HL定理)．

CD=C'D'．

又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'．

C'CB'B∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中，

∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '，

∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．

【教学反思】