利用完全平方差公式进行因式分解PPT配套教学设计内容

《公式法》教案

教学目标

一、知识与技能

了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握平方差公式与完全平方公式的结构特征，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式将多项式因式分解. 二、过程与方法

培养学生的观察和联想能力，进一步了解换元的思想方法，通类比的方法，运用平方差公式与完全平方公式因式分解.21世纪教育网版权所有

三、情感态度和价值观

积极参加探索活动，并在此过程中培养自己勇于挑战的勇气和战胜困难的自信心. 教学重点：

正确熟练地运用平方差公式与完全平方公式因式分解. 教学难点：

把多项式进行适当的变形，灵活运用平方差公式与完全平方公式因式分解. 教学过程：

一、导入新课

提出问题：

1. 多项式的分解因式的概念：

2. 公因式的含义、提公因式法分解因式；

3. 分解因式与整式乘法关系：

4.整式的乘法公式有哪些? 学生回忆回答上述问题. 前面我们学习了用提取公因式法因式分解，这节课我们学习另外一种方法---公式法因式分解.

二、新课学习

（一）探究用平方差公式因式分解

1、想一想

（1）观察多项式

x2-25 和

9x2-y2，它们有什么共同特征？

（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积. 师生共同分析：

多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式：

x2-25=x2-52，

9x2-y2 =(3x)2-y2

把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)，于是有：

x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)；

9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).

2、归纳总结：

(a+b)(a-b)=a²-b²

a²-b² = (a+b)(a-b) （整式乘法）

（因式分解）

特点：

(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）

★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（

）２－（的形式. (2)

公式右边：（是分解因式的结果）

★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式. 3、学以致用

例1、把下列各式分解因式：

（1）25-16x2

（2）9a2- b2

分析：先确定a与b 学生根据分析，自主完成解题过程

２

）

解：（1）25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).

（2）9a2- b2=(3a)2-(b)2=(3a+b)(3a-b) 例2

把下列各式分解因式：

（1）9(m+n)2-(m-n)2

（2）2x3-8x 分析：（1）把括号看作一个整体；（2）先提出这个公因式

学生根据分析，自主完成解题过程

解：（1）9(m+n)2-(m-n)2

=[3(m+n)]2-(m-n)2

=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n) （2）2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2) 归纳：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 21教育网

（二）探究完全平方公式因式分解

1、把乘法公式

(a+b)2=a2+2ab+b2

，(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就得到：

（整式乘法）

a2+2ab+b2 = (a+b)2

，a2-2ab+b2 = (a-b)2

（因式分解）

形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式. 2、归纳：

（1）完全平方式的特点：

“头”平方, “尾”平方, “头”“尾”两倍中间放.

（2）公式法定义：

由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.21cnjy.com

3、学以致用

例3、把下列完全平方式分解因式：

(1)x2+14x+49；

(2) (m+n)2-6(m+n)+9. 分析：找到完全平方式中的“头”和“尾”，确定中间项的符号。

学生根据分析，自主完成解题过程

解:(1) x2+14x+49 =x2+2×7x+72=(x+7)2

(2) (m+n)2-6(m+n)+9=(m+n)2-2(m+n)·3+32=[(m+n)-3]2 =(m+n-3)2

例4 把下列完全平方式分解因式：

(1) 3ax2+6axy+3ay2；

(2) –x2–4y2+4xy. 分析：（1）先提取公因式，（2）把第一项的符号变成正号

学生根据分析，自主完成解题过程

解:(1) 3ax2+6axy+3ay2 = 3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；

(2)-x2-4y2+4xy=-(x2+4y2-4xy)

=-(x2-4xy+4y2)

=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2. 归纳：

因式分解的一般步骤：一提(公因式)，二套(公式) . 三、课堂练习

1.

判断正误

(1) x²+y²=(x+y)(x+y) (2) x²-y²=(x+y)(x-y)

(

) (

)

(3) -x²+y²=(-x+y)(-x-y)

(

)

(4) -x² -y² =-(x+y)(x-y) (

)

2.

把下列各式分解因式：

(1) a2b2-m2

(2) (x+y+z)2-(x-y-z)2

(3) x2-(a+b-c)2

(4) -16x4+81y4

3、下列哪些式子可以利用平方差公式分解因式？

(1) 9x2-4y2

(2) 16x2-y2

(3) -16x2+y2

(4) 16x2+y2

(5) -y2-x2

4、判断下列各式是不是完全平方式，若不是，说一说怎样将其变为完全平方式. (1) a2+4a+4

(2) x2+4x+4y2

(3) x2-6x-9

(4) a2-ab+b2

(5)(a+b)2+2(a+b) +1 四、结论总结

这节课你有什么收获？

1. 运用公式法分解因式：

平方差公式和完全平方公式；

2. 分解因式时通常先考虑提公因式法，再考虑公式法；

3. 要分解到每个因式都不能再分解为止.