3.1.1 变化率问题第二课时教案

教学准备 1.

教学目标 （1）了解平均变化率与割线斜率之间的关系

；

（2）理解曲线的切线的概念

；

（3）通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；

（4）会用导数的几何意义解题 . 2.

教学重点/难点 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义

3.

教学用具 多媒体、板书

4.

标签 教学过程 一、温故知新、引入课题

【师】请同学们回忆上节课学的的知识. 【板演/PPT】

1.函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:

2.平均变化率的几何意义：割线的斜率

3.导数的概念: 一般地，函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数

4．求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤是:

【设计意图】引导学生回忆本节课的旧知识，为下面探究导数的几何意义做准备。自然进入课题内容。

二、新知探究

1、切线

【合作探究】

【板演/PPT】

探究1 平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？

【生】初中平面几何中圆的切线定义：如果直线与圆有唯一公共点，则称直线与圆相切，这条直线叫圆的切线。

【师】如图直线l1是曲线C的切线吗? l2呢?

【生】l2是曲线C的切线。

【师】我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？

曲线的切线及切线的斜率：

如图1.1-2，当线PPn的变化趋势是什么？

【生】演变成切线PT。

沿着曲线f(x)趋近于点时，割

师生共同总结出切线的定义：

我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 注：曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以有无穷多个. 【设计意图】用运动的观点解释圆的切线：让圆的割线运动到确定的位置（即直线与圆只有唯一一个交点处）就形成了圆的切线。用运动的观点研究一般曲线的切线。

【师】

（1）割线PPn的斜率Kn与切线PT的斜率有什么关系？

（2）切线PT的斜率k为多少？

【提示】容易知道，割线PPn的斜率是点P时，Kn无限趋近于切线PT的斜率k，即，当点Pn沿着曲线无限接近

【说明】：

（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

（2）曲线在某点处的切线:（1）与该点的位置有关;（2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;（3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 这个概念的作用: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在x=x0处的导数. [2]导数的几何意义

探究2：在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率有何联系？

导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，

即

【说明】：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率点（x0,f（x0））的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程. 【师】：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？

【生】：已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量。

【师】：切线y=kx＋b中，如果k＞0，则切线有怎样的变化趋势？如果k＜0呢？反之，由切线的变化趋势，能否确定斜率的情况？

，得到曲线在

【生】k＞0，则切线呈上升趋势；k＜0，则切线呈下降趋势。由切线的变化趋势可以得出切线的斜率情况，也即该点处的导数情况。

【设计意图】适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。

3、例题讲解

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 解析：

所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y-2=2（x-1）即2x-y=0 【总结提升】

求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P的坐标；

②求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数；

③利用点斜式求切线方程. 例2．如图1.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在变化情况．

附近的

解析：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

（1） 当t=t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

从图1.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．

【总结提升】

通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论? （1）以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；

（2）函数的单调性与其导函数正负的关系 ；

（3）曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 . 例3．如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

解析：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作t=0.8处的切线，并在切线上去两点，如所以

则它的斜率为下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

4、导函数：

由函数0处求导数的过程可以看到,当时,的导函数.记作：

是一个确定的数，那么,当x

变化时,便是x的一个函数,我们叫它为即:注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

函数在点x0处的导数导函数导数之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数极限，它是一个常数，不是变数。

就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数 3）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数

处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。

【设计意图】对导数的几何意义掌握较好，能借助导数研究函数的增减。综合题便于优生增强能力、训练思维，为后继学习引入导函数的概念奠定基础。

在教学中向学生提供充分的从事数学活动的机会，倡导自主探索、合作交流与实践创新，促进他们在活动的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。使不同层次的学生，各自争取更大限度的发展。

三、复习总结和作业布置

1、课堂练习

1．下列说法正确的是

2. 已知y=f(x)的图象如图所示，则的大小关系是()

3．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）

4．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为 ( ) A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1) C. ( 2 , 8)

5．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝_______. 课堂练习【参考答案】

1. C 2. B 3. D 4. B 5. 答案 3 课堂小结 1.曲线的切线定义

2.使学生掌握函数图像在在处的导数的几何意义就是函数的处的切线的斜率。（数形结合），即：

＝切线的斜率

3．利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

4．导函数（简称“导数”）的概念。

课后习题 1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 P10 习题1.1 A组5,6