3.1.1 变化率问题优质课教学设计

“变化率问题与导数的概念”教学设计

一、教材分析

本节内容选自课标实验教材人教A版，是导数的起始课，主要内容有变化率问题和导数的概念。导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。大纲教材中导数概念学习的起点是极限，这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质理解。教材通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想，这样定义导数的优点是： 1．使学生将更多精力放在导数本质的理解上；

2．学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。

基于上述分析，本节课的教学重点是：丰富学生的感性经验，运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。

二、教学设计

课题：变化率问题与导数的概念

教学目标：1．通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 2．通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会逼近的思想方法； 3．经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。通过概念的形成过程体会从特殊到一般的数学思想方法。

教学重点：了解瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。

教学难点：从平均变化率向瞬时变化率的过渡。

教学过程：

1．创设情境、引入新课

教师介绍：微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应

用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要方法和手段。在本章中，学生将通过大量的实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，那么，我们先来研究变化率的问题，引出新课。

设计意图：充分挖掘章引言的教学价值，它说明了三方面的问题：首先，简明的指出了函数和微积分的关系；其次，概述了微积分的创立史及它的地位；第三，概述本章的学习内容。

2．实例探索，引出概念

问题1：大家可能有过吹气球的经验。在吹气球的过程中，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。这个过程中的自变量和函数值分别是谁？试建立它们之间的函数关系，从数学角度如何描述上述变化过程呢？

设计意图：通过分析生活实例，提炼数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动：回忆吹气球的过程（或者让学生现场吹气球），建立半径r关于体积V的函数关系：r(V)33V。再将气球平均膨胀率转化为平均变化率的问题，建立计算公式：4r(V2)r(V1)。通过观察和计算，用数据解释上述现象，并通过几何画板演示，更逼真的V2V1感受上述现象。图1直观地演示了当球的体积增大（黑色部分面积变大，绿色越来越薄）时，半径增大越来越小。图2演示当A，B两点向右运动时，自变量的增量保持不变，但是平均变化率越来越小。

原体积0.00000.33050.66100.99151.32201.65251.98302.31352.64402.97453.30503.63553.96604.29654.62704.95755.28795.61845.94896.27941.6029现体积1.00001.33051.66101.99152.32202.65252.98303.31353.64403.97454.30504.63554.96605.29655.62705.95756.28796.61846.94897.27942.6029半径增加0.62040.25340.19430.16190.14060.12530.11360.10440.09680.09050.08510.08050.07640.07290.06970.06680.06420.06190.05980.05780.1273

原体积0.00000.37180.74361.11541.48721.85902.23092.60272.97453.34633.71814.08994.46174.83355.18055.52765.87466.22166.56866.89092.4828现体积1.00001.37181.74362.11542.48722.85903.23093.60273.97454.34634.71815.08995.46175.83356.18056.52766.87467.2216-27.56867.89093.4828平均变化率0.62040.24320.18460.15300.13240.11770.10650.09770.09050.08450.07940.07500.07120.06780.06500.06250.06020.05810.05620.05450.1003-121234运动A、B点回复改变体积AB46图1 -2图2

问题2 阅读“高台跳水”问题，解决探究栏目, 该栏目中的问题（2）给你什么启示？怎样才能更准确的描述运动员的运动状态呢？

设计意图：分析实例，抽象数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景，并使学生初步感受平均变化率的不足，激发进一步探求新知的欲望。

师生活动：完成问题2。并抽象出其中的平均变化率的计算公式：1014hx = -4.9x2+6.5x+1012xA = 0.0000xB = 1.3265hxA = 10.0000hxB = 10.0000hxA-hxBxA-xB = 0.00h(t)h(t1)。v2t2t1并借助于几何画板给予直观解释。

3．分析归纳，得到概念

[0,0.5]864[1,2]2[0,65/49]-2A图3 B2468问题3 对比问题1和问题2中的平均变化率计算关系式，他们有什么共同特点?对于一般函数f(x),如何计算其平均变化率？

设计意图：让学生结合两个实例，对比、分析，抽象概括出一般形式，经历由特殊到一般的数学过程。

师生活动：学生讨论，分析，归纳根据前面的实例，得到结论：

f(x2)f(x1)称为函数f(x)从x1到x2的平均变化定义：一般地,函数y=f(x)中，式子 21f(x2)f(x1)y率，则: 。

x2x1x其中△x

、△

y

的值可正、可负，但△x值不能为0，

△

y

的值可以为0。

xx若函数f(x)为常函数时，

△

y

=0。

变式：

f(x)f(x)f(x

x)f(x)xx

x211121。

21问题4 观察函数f(x)的平均变化率 ，结合直线的斜率分析平均f(x)f(x)x2x1yx变化率的几何意义是什么?

图4

设计意图：从几何角度得到平均变化率的几何意义，体现数形结合的思想。

师生活动：学生观察图像，并通过几何画板的演示，得到平均变化率即反映了直线AB 的斜率。 4．继续探索，展示内涵

问题5 回顾问题2，用平均速度描述运动员的运动状态会出现悖论：运动员在运动，但平均速度是0。那么如何求运动员的瞬时速度呢？可以t=2时刻的瞬时速度为例进行研究。

设计意图：帮助学生体会从平均速度到瞬时速度的过渡，理解学习瞬时速度的必要性和合理性。

v



4.9师生活动：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度







13.1



t

。

hth(2t)h(2)t当Δt趋于0时，通过计算观察平均速度的变化趋势：

Δt -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001

-12.61 -13.051 -13.0951 -13009951 -13.099951 -13.0999951 -13.1

Δt 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001

-13.59 -13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 -13.1000049 -13.1 …

…

可以看出，当增量△t趋近于0时平均速度越来越接近于瞬时速度。

并指出为了表述方便，数学中用简洁的符号来表示，即limh(2t)h(2)13.1。并通t0t过几何画板，拖动A点向B点运动的过程，更深入的体会逼近思想。

问题6 运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？

设计意图：将问题5的研究一般化，从特殊到一般，符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力。

师生活动：用t0代替2,通过类比得到limh(t0t)h(t0)。

t0t问题7

回顾问题1气球在体积v0时的瞬时膨胀率如何表示呢？

设计意图：借助其他实例，抽象导数的概念，体会瞬时变化率不同的实际意义。 师生活动：类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示r(v0v)r(v0)。

v0vlim问题8 对于一般函数f(x)在xx0处的瞬时变化率如何表示呢？

设计意图：引导学生舍弃具体问题的实际意义，抽象得出函数在某点处的瞬时变化率，即导数，帮助学生实现认识上的飞跃。

师生活动：在前面两个问题的基础上提出导数的概念：

一般地，函数f(x)在xx0处的瞬时变化率是：

lim

y|f(x0)lim称为函数

y = f (x) 在

x = x0 处的导数, 记作

f(x0)或

x

x

，即：x00x0f(xΔx)f(x)

ylim

x

x00

x0

f(x0Δx)f(x0) .

x5．自主归纳，提升认识

问题9：通过本节课的学习你有哪些收获？

设计意图：通过小结帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，更好地理解本节课的知识和思想方法。

师生活动：在学生自主小结的基础上揭示函数思想、逼近思想方法，概念形成过程中的抽象概括。

6．布置作业：略