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直线和圆的位置关系（综合应用）

一、知识回顾

1、直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。

直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

AxByC0设直线l:AxByC0，圆锥曲线C:f(x,y)0，由消去y（或x）得：f(x,y)0ax2by2c0,b24ac,a0，⑴0相交；⑵0相离；⑶0相切

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

2、中点弦问题常用点差法

3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式

F(x,y)0F(x,y)0，设直线ykxn，圆锥曲线：它们的交点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)且由，ykxn消去y得ax2by2c0(a0),b24ac,

则弦长公式为：

|PF|焦点弦长：e（点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，d是P到相应于焦点Fd的准线的距离，e是离心率）。

4、对称问题：

曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（0）③曲线上两点的中点在对称直线上

5、圆锥曲线综合问题

⑴圆锥曲线中的最值问题

通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。即最值问题求解：(1)将问题转化为不等式；(2)利用圆锥曲线中的一些最值问题；(3)利用一元二次方程中∆≥0。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围。

⑵圆锥曲线中的范围问题

解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围．

⑶定点、定值问题：

解决定点、定值问题：①将问题转化为含有变量的关系式，若与变量无关，则变量的系数为0；②在求解中变量可约分或相互抵消．

⑷对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。解答存在型探索性问题的方法一般也有两种：①先假设某数学对象存在，然后据此推理或计算，直至得到存在的依据或导出矛盾，从而肯定或否定假设；②在假设某数学对象存在的前提下，由特例探索可能的对象，作出猜想，然后加以论证

⑸实际应用问题

数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：

实际问题

建立坐标系

转化成数学问题

数学模型方程

模型的解

翻译回去

讨论方程的解

⑹知识交汇问题

圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。

二、典例解析

题型1：交点个数问题

2y2例、已知双曲线x1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直124线的斜率的取值范围是

。

点评：（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法

（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）

⑶联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论

练习

1、已知双曲线x2y24，直线yk(x1)，讨论双曲线与直线的公共点个数。

2、设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是

。

3、直线l:yk(x是

。

2)与曲线x2y21(x0)相交于两点A、B，则直线l的倾斜角范围2

题型2：与弦长有关的问题

例、已知两定点F1(2,0),F2(2,0)，满足条件PF1PF22的点P的轨迹是曲线E，直线ykx1与曲线E交于A、B两点，如果AB63，求直线AB的方程。

练习：

1、双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别AB、OB成等差数列，且BF与FA同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；交l1，l2于A，B两点．已知OA、

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

2y2x2、已知椭圆221(ab0)与直线yx1相交于两点A、B．⑴当椭圆的半焦距c1，且aba2、b2、c2成等差数列时，求椭圆的方程；⑵在⑴的条件下，求弦AB的长度AB；

3、已知直线y2xk被抛物线x24y截得的弦长AB20，O为坐标原点．

（1）求实数k的值；（2）问点C位于抛物线弧AOB上何处时，ABC面积最大？

题型3：对称问题

222y2例、双曲线C:x221(a0,b0)的离心率为2，且OAOB43abA(0,b)B,(a,0)。（1）求双曲线C的方程；（2）若双曲线上存在关于直线l:ykx4的对称点，求实数k的取值范围。

点评：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2)两个对称点的连线与轴垂直(3)两点连线与曲线有两个交点(0),通过该不等式求范围。

练习：

2y2x1、试确定m的取值范围，使得椭圆1上有不同两点关于直线y4xm对称。

432、在抛物线y24x上恒有两点关于直线ykx3对称，求k的取值范围. 2y23、椭圆C:x221(ab0)的两个焦点为F1、且PF1F1F2,

|PF1|4,

F2,点P在椭圆C上，3ab|PF2|14。⑴求椭圆C的方程；⑵若直线l过圆x2y24x2y0的圆心，交椭圆C于A,B两点，3且A,B关于点M对称，求直线l的方程。

4、已知三点P(5,2),F1(6,0),F2(6,0)。⑴求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；⑵设点，其中OAOB22

3

求以F1、P、F1、F2关于直线yx

x的对称点分别为P、F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标F2，准方程。

题型4：圆锥曲线中定点和定值问题

3x2y2例、过点C(0，1)的椭圆221(ab0)的离心率为，椭圆与x轴交于两2ab点A(a,0)、A(a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：OPOQ为定值．

点评：定点与定值问题的处理一般有两种方法：

（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．

练习：

1、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，

（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，OAOB与a(3,1)共线。OMOAOB

(,R)，证明22为定值。

2y22、已知P、Q是椭圆C:x1上的两个动点，M(1,6)是椭圆上一定点，F是其左焦点，且422PF、MF、QF成等差数列。求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A。 3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条准线方程是x1，倾斜角为的直线l交椭圆C于4两点A、B两点，且线段AB的中点坐标为S(1,1)。

⑴求椭圆C的方程；

⑵设P、Q为椭圆C2422上的两点，O为坐标原点，且满足OPOQ3。求证：直线OP与直线OQ斜率之积的绝对值4kOPkOQ为定值。

x2y234、已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为3，右准线方程为x⑴求双曲线C的方ab3。22程；

⑵设直线l是圆O:xy2上动点P(x0,y0)(x0y00)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点

A,B，证明AOB的大小为定值.

4

2y25、椭圆x221(ab0)与直线xy10相交于两点P、。

Q，且OPOQ（O为原点）b（1）求证：1212是定值； （2）若椭圆离心率e[3,2]，求椭圆长轴长的取值范围。

ab326、平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A(1、0),B(0,2)，点C满足OCOAOB，其中、R,21。

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹与双曲线2x2y1(a0,b0)交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：11为定值；

a2b2a2b2（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴上得取值范围。

ax2y27、已知方向向量v=(1,3)的直线l过点（0，-23）和椭圆C：2+2=1（a>b>0）的焦点，且椭圆

abC的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P,Q,R都在椭圆C上,PQ、

PR分别过点M1(-1,0)

、M2(1,0),设PM1=M1Q，当点在椭圆C上运动时，试问+

PM2=M2R，是否为定值．

题型5：圆锥曲线中最值和范围问题

2y2B．当椭圆的离心率e满例1、已知椭圆C1:x221(ab0)与直线xy10相交于两点A、ab足

3e2，且OAOB0（O为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．

32例2、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为(3,0)。

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l:ykx2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OAOB2（其中O为原点）. 求k的取值范围.

B两个不同的点，例3、设直线l:yk(x1)与椭圆x23y2a2(a0)相交于A、与x轴相交于点C，记O为坐标原点。⑴）证明a23k2；⑵若AC2CB，求OAB的面积取得最大值时的椭圆方程。

13k2

x222例

4、已知椭圆方程为y1，点M(2，)，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆

42

交于A、B两点(异于M)。1求证直线AB的斜率为定值；2求AMB面积的最大值．

5

点评：求范围和最值的方法：解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.常有以下两种方法

几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题

代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．

练习：

x2y21、（1）设AB是过椭圆221(ab0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(c，0)，则△F1AB的面ab2积最大为（

）

A. bc

B. ab

C. ac

D. b

x2y2（2）已知双曲线221(a0，b0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且ab457|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率的最大值是（

）

A.

B.

C. 2

D.

332x2y21上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（

）

（3）已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆259

A. 10

B. 105

C. 105

D. 1025

x2y21的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值（4）以知F是双曲线412为

。x2y2P使⑸已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在一点abac，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．sinPF1F2sinPF2F1

2、已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且

PMPF0,|PM||PN|.

⑴求点N的轨迹方程；

⑵直线l与点N的轨迹交于A、B不同两点，若

OAOB4，且46|AB|430求直线l的斜率k的取值范围.

3、椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e2，椭圆上的点到焦点的最短距离为

2，与椭圆C交于相异两点A、B，且APPB.。

⑴求椭圆方程;

1e,直线l与y轴交于P点（0，m）⑵若OAOB4OP,求m的取值范围. 0)B(01)，是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与4、设椭圆中心在坐标原点，A(2，，椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若ED6DF，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

B的坐标分别是(1,0),(1,0)，曲线C上任意一点满足PAPB4(PAPB)0。5、已知点A、（1）求曲线C的方程;（2）过点B的直线l与曲线C相交于M、N两点，若MAN为钝角，求直线l倾斜角的取值范围。

6、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为222.记动点C的轨迹为曲线W。

(1)求W的方程；

(2)经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W

有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；

（3）已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OPOQ与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 27、设双曲线C：xy21的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的222两点P、Q。

（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且A1PA2Q1，求点T的坐标；

（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；

（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于

6

不同的两点A、B，设FAFB，若[2,1]求TATB（T为⑴中的点）的取值范围。

8、已知点G是ABC的重心，A(0，1)，B0,1，在x轴上有一点M，满足|MAMC|，GMAB(R)．1求点C

的轨迹方程；2若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q，且满足|APAQ|，试求k的取值范围．

在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点P(3，2)，且与x轴交于点F2,0．9、1求直线l的方程；2若一个

椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；3若在12的情况下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且PMPQ，当|OM|最小时，求的值．

6，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点3为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C.

（1）求椭圆W的方程；

（2）求证：CFFB

(R)；（3）求MBC面积S的最大值.

x2y2+=1的左、右焦点. （1）若P是该椭圆上的一个动点，求PF11、设F1、F2分别是椭圆1PF2的5410、已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为最大值和最小值；（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 12、已知圆C:x2y24.(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若AB23。（1）求直线l的方程；

(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量OQOMON，求动点Q的轨迹方程.

(3) 若点R(1,0)，在（2）的条件下，求RQ的最小值. x2y213、已知点P（4，4），圆C：(xm)y5(m3)与椭圆E：221(ab0)有一个公共点A（3，ab1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

22（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求APAQ的取值范围．

14、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l。

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。

15、已知椭圆C的两个焦点为F1（－3，0），F2（3，0），点M是椭圆C上的动点，且|MF1|·|MF2|的最大

值为25。①求椭圆C的方程；

②已知有一定点N（2，0），求|MN|的最小值. 题型六、探究型的存在性问题

2y2x例1、已知椭圆C:221(ab0)的离心率为3，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，ab3当l得斜率为1时，坐标原点O到l得距离为2。（Ⅰ）求a，b的值；

2（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OPOAOB成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

7

例2、已知双曲线x2y22的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点.

（Ⅰ）若动点M满足F1MF1AF1BF1O（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使CACB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

点评：存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根

据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 练习：

1、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0，1)，且其右焦点到直线xy220的距离为3.

3

1求椭圆的方程；2是否存在斜率为k(k0)，且过定点Q(0，)的直线l，使l与椭圆交于不同的两个点M、N，2

且|BMBN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

x2y22、已知点P是椭圆1上的动点，F1、F2是该椭圆的左、右焦点，点Q满足PQ与F1P是方向相同的

43向量，又|PQPF2|.1求点Q的轨迹C的方程；2是否存在斜率为1的直线l，使l与曲线C的两个交点A、B

满足AF2BF2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

CBC0，3、已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且A

（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q使PCQ的平分线垂直于OA，是否总

|BC|2|AC|，存在实数λ，使得PQλAB？请说明理由；

x2y264、已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点

3ab106在椭圆C上，且MFFN(0)，定点A（－4，0）.①若当1时有AMAN，求椭圆C 3的方程；②在①的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，试判断(AMAN)tanMAN是否有最大值，

若存在求出最大值，并求出这时M、N两点所在直线方程，若不存在，说明理由。

题型7：证明问题

x2y2例、设椭圆C:221(ab0)过点M(2,1)，且着焦点为F（Ⅰ）求椭圆C的方程；

1(2,0)。ab（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

练习：

2y2x椭圆22＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=3.(Ⅰ)2ab求椭圆方程；(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T。

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2、设mR，在平面直角坐标系中，已知向量a(mx，y1)，向量b(x，y1)，ab，动点M(x，y)1的轨迹为E.1求轨迹E的方程，并说明该方程所表示的曲线的形状；2已知m，证明：存在圆心在4

原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OAOB(O为坐标原点)，并求出

该圆的方程．

3、已知a(x,0),b(1,y),(a3b)(a3b).①点P（x，y）的轨迹C的方程；

②若直线l:y3xm(m0)与曲线C交于A，B两点，D（0，－1）且有|AD|=|BD|，试求m的值. 4、已知过点A（－2，0）斜率为k1的直线，与过点B（2，0）斜率为k2的直线交于点C，且k1k2（Ⅰ）求点C的轨迹方程；

（Ⅱ）设过点P（－4，0）且与点C的轨迹相切于点E的直线为l，l交y轴于点M，若PEPM,求3.

4的值.

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