1.2.1 充要条件第二课时教案

1.2.2

充要条件

学习目标

1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.

知识点1

充要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p

就记作__p⇔q. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. 【预习评价】

思考

(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

提示

(1)正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论. ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论. 知识点2

常见的四种条件与命题真假的关系

如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：

原命题

真

逆命题

真

p与q的关系

p是q的充要条件

q是p的充要条件

p是q的充分不必要条件

q是p的必要不充分条件

p是q的必要不充分条件

q是p的充分不必要条件

真

假

假

真

假

假

p是q的既不充分也不必要条件

q是p的既不充分也不必要条件

【预习评价】

若x，y∈R，则“x＝y”是“|x|＝|y|”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

解析

当x＝y时，|x|＝|y|显然成立；若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，所以“x＝y”是“|x|＝|y|”的充分不必要条件. 答案

A 知识点3

从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}. 【预习评价】

若“x＜a”是“x＜2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________. 解析

由题意知{x|x＜a}答案

(－∞，2)

题型一

充要条件的判断

{x|x＜2}，所以a＜2. B且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条

【例1】

(1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(

) A.充要条件

C.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件. 答案

A (2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？

①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；

②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

③p：|x|>3，q：x2>9. 解

①在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B，

所以p是q的充要条件. ②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件. ③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件. 规律方法

判断p是q的充分必要条件的两种思路

(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件. (2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的. 【训练1】

(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(

) A.ab＝0

B.ab>0 D.a2＋b2>0 C.a2＋b2＝0

(2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________. 解析

(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0. (2)函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点.故“函

数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a<－1. 答案

(1)D

(2)a<－1 题型二

充要条件的证明

【例2】

求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2. 证明

①必要性：

若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则

1k≤4，（x1－1）＋（x2－1）>0，⇒（x1＋x2）－2>0，

（x1－1）（x2－1）>0，x1x2－（x1＋x2）＋1>0.Δ＝（2k－1）2－4k2≥0，1k≤4，即－（2k－1）－2>0，

k2＋（2k－1）＋1>0，解得k<－2. ②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0. 设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2，

则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1 ＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0. 又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2 ＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，

∴x1－1>0，x2－1>0. ∴x1>1，x2>1. 综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2. 规律方法

一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. 【训练2】

求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0. 证明

①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx. 因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数. ②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，

即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0. 综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0. 互动探究

题型三

利用充分条件、必要条件求参数的取值范围

【探究1】

设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，若AB，求实数a的取值范围. 解

因为AB，所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1). 【探究2】

设A，B是两个集合，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A与B是什么关系？

解

由充分不必要条件的定义可知，若x∈A，则x∈B一定成立；但x∈B，则x∈A不成立，所以AB. 【探究3】

已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围. 解

设p对应的集合为A，q对应的集合为B.解不等式x2－8x－20＞0，得A＝{x|x＞10或x＜－2}.解不等式x2－2x＋1－a2＞0，得B＝{x|x＞1＋a或x＜1－a，a＞0}.依题意知p⇒q，q⇒

p，说明AB.于是有

/a＞0，1＋a≤10，(说明：“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能同时取到)解得1－a≥－2，0＜a≤3. ∴正实数a的取值范围是0＜a≤3. 规律方法

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. x－1≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且p是q的【训练3】

已知p：1－3

充分不必要条件，求实数m的取值范围. x－1x－1x－11－≤2⇒－2≤解

由题意知p：－1≤2⇒－1≤33≤3⇒－2≤x≤10. 3q：x2－2x＋1－m2≤0⇒

[x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0.(*) ∵p是q的充分不必要条件，

x－1≤2的解集是x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)的解集的真子集. ∴不等式1－3∵m＞0，∴不等式(*)的解集为{x|1－m≤x≤1＋m}，

且1－m＝－2与1＋m＝10不同时成立. 1－m≤－2，m≥3，∴⇒

1＋m≥10m≥9.∴m≥9. ∴实数m的取值范围是[9，＋∞).

课堂达标

1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0. 答案

A 2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，当A⊆B时，a＝2或3.

答案

A 3.已知α：“a＝±2”，β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，得答案

C 4.已知直线l1：x＋ay＋6＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝__________. 解析

由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，

而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1. 答案

－1 115.已知p：x>0，y<0，q：x>y，x>y，则p是q的________条件. 11解析

当x>0，y<0时，x>y且x>y成立，

x－y>0，x>0，11当x>y且x>y时，得x－y⇒

y<0.<0，xy所以p是q的充要条件. 答案

充要

课堂小结

1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2.充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. |a|＝2，∴a＝±2.∴α是β的充要条件. 2

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

基础过关

1.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数. 答案

A 2.设{an}是等比数列，则“a1

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

{an}为等比数列，an＝a1·qn1，由a10，q>1－或a1<0，0

C 13.设x∈R，则“x＞2”是“2x2＋x－1＞0”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

因为{x|2x0}，故选A. 答案

A 4.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________. 解析

当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，

其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，

所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 211x|x＞或x＜－1x|x＞＋x－1＞0}＝，所以22{x|2x2＋x－1＞

答案

m＝－2 5.下列不等式：

①x<1；②0

由于x2<1即－1

②③④

16.试说明0＜m＜3是方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根的什么条件. 解

若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根，

Δ＝4－12m＞0，m≠0，1则∴0＜m＜3. 3m＞0，1反之，若0＜m＜3，

23则m＞0，m＞0，－4＜－12m＜0，0＜4－12m＜4，

23即Δ＞0，且m＞0，m＞0. 1因此0＜m＜3是方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根的充要条件. 7.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac＜0. 证明

必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，

c∴Δ＝b2－4ac＞0，且x1x2＝a＜0，

∴ac＜0. c充分性：由ac＜0可推出Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝a＜0，

∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根. 因此一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac＜0. 能力提升

8.在△ABC中，“sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1”是“△ABC是直角三角形”的(

)

A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B

＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1，

又因为sin A≤1，所以sin A＝1. π又因为0

故△ABC为直角三角形；

若△ABC为直角三角形，则A不一定为直角，也可能为锐角，则sin A不一定取到最大值1，

即不一定有sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B

＝sin A≥1，

故“sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件，故选A. 答案

A 119.若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜b或b＞a”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

因为0＜ab＜1，所以a，b同号，且ab＜1. 1当a＞0，b＞0时，显然有a＜b；

1当a＜0，b＜0时，显然有b＞a，

11故“0＜ab＜1”是“a＜b或b＞a”的充分条件. 11而当a＜0，b＞0时，显然有a＜且b＞，

ba但推不出0＜ab＜1. 11综上所述，“0＜ab＜1”是“a＜b或b＞a”的充分不必要条件，故选A. 答案

A 10.圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________.

解析

圆心(0，0)到直线的距离为d＝由题意知d>1，

∴222

>1，两边平方得k<3，

1＋k22，

1＋k∴－3

－3

面面平行时一定有分别位于两个平面内的直线无公共点，但是分别位于两个平面内的直线无公共点时，这两个平面的关系可能是平行，也可能是相交，故p是q的必要不充分条件. 答案

必要不充分

12.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明

①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，

|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立. 当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时. 又当x>0，y>0时，

|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立. 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，

|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立. 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立. ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，

得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，

即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，

∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件. 13.(选做题)已知函数f(x)＝3－（x＋2）（2－x）的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a

－1)(2a－x)](a＜1)的定义域为B. (1)求A；

(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 解

(1)要使f(x)有意义，则3－(x＋2)(2－x)≥0，

化简整理得(x＋1)(x－1)≥0，

解得x≤－1或x≥1，

∴A＝{x|x≤－1或x≥1}. (2)要使g(x)有意义，则(x－a－1)(2a－x)＞0，

即(x－a－1)(x－2a)＜0，

又∵a＜1，∴a＋1＞2a，

∴B＝{x|2a＜x＜a＋1}. ∵p是q的必要不充分条件，

∴BA，

∴2a≥1或a＋1≤－1，

1解得2≤a＜1或a≤－2. 1∴a的取值范围为(－∞，－2]∪2，1. 