3.1.1 变化率问题优质课一等奖

3.1.1 变化率问题

一.

教学目标

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

二.

教学重点

1.

通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；

2.

掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；

三.

教学难点：平均变化率的概念．

四.

教学过程

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)43r

3如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V

4分析: r(V)33V

4(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)

10(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L)

21可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水

r(V2)r(V1)

V2V1在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)4.9t6.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0t0.5和1t2的平均速度v

在0t0.5这段时间里,v在1t2这段时间里,v探究: 计算运动员在0t2h(0.5)h(0)4.05(m/s)

0.50h(2)h(1)8.2(m/s)

2165这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程: 如图是函数h(t)4.9t6.5t10的图象, 2

结合图形可知,h(65)h(0),所以v49h(65)h(0)490(s/m)

65049虽然运动员在0t65这段时间里的平均速度为0(s/m), 49但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (二)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)f(x1)表示, x2x1

称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 2.若设xx2x1, ff(x2)f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”可

用x1x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) 则平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf

x2x1xxx思考: 观察函数f(x)的图象

平均变化率ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1

(三)、典例分析

例1．已知函数f(x)=xx的图象上的一点A(1,2)及临近一点2B(1x,2y),则y

．

x解：2y(1x)2(1x)，

y(1x)2(1x)23x

∴xx例2．

求yx2在xx0附近的平均变化率。

y(x0x)2x02解：y(x0x)x0，所以

xx22x02x0xx2x02x0x

x

所以yx2在xx0附近的平均变化率为2x0x

(四)．课堂练习

22

1.质点运动规律为st3,则在时间(3,3t)中相应的平均速度为

. 2.物体按照s(t)3t2t4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 【答案】1.6+t

2.25+3t

(五）、回顾总结

让学生进行课堂小结. （1）

随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，即随着气球体积的增大，2比值气球膨胀率越来越小；

（2）

（3）

（4）

（5）

平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；

函数的平均变化率的概念

；

求函数的平均变化率的步骤；

课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？

（6）

思考问题方法：从实际生活到数学语言，数学概念．