3.1.3 导数的几何意义名师教学设计2

人教A版全日制高中《数学》选修1-1第76-80页

石家庄市第五中学

郭亚社

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一、教学目标

【知识与技能目标】

⑴知道曲线的切线定义，理解导数的几何意义；

⑵导数几何意义简单的应用．初步体会“逼近”和“以直代曲”的数学思想方法．

【过程与方法目标】

⑴经过几何画板演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图像的切线“形成”过程，获得函数图像的切线的意义，通过新旧切线定义对比，发展切线的定义。

⑵通过几何画板的动态演示，给予学生观察、思考的时间，培养学生观察、思考、发现等思维能力，体会数形结合、以曲代直的思想方法，增强识图用图的能力；

⑶通过“问题串”的教学形式达成培养学生进行数学语言交流的能力的目标；

【情感态度价值观目标】

⑴通过导数的几何意义丰富对导数的认识，感觉导数概念不再抽象难懂，增强对导数学习的信心。

⑵利用“以直代曲”的近似替代的方法，养成学生分析问题解决问题的方法，体会发现问题的乐趣

二、重点、难点

重点：导数的几何意义，“数形结合，以直代曲”数学思想方法．

难点：发现、理解及应用导数的几何意义，将导数多方面的意义联系起来。

三、教学过程设计

（一）提出问题

前两节课，我们学习了导数的概念。请问：

问题1：什么是导数？和大家谈谈你对导数的认识

生1：瞬时变化率，在物理上可以表示瞬时速度，瞬时加速度等

f(x0x)f(x0)ylim生2：计算表达式f(x0)lim即平均变化率的极限

x0xx0x师总结：大家说的比较全面。导数本质是瞬时变化率，它刻画了函数在一点处的变化快慢程f(x0x)f(x0)ylim度。已知f(x)解析式，由f(x0)lim可求导数f(x0)。

x0xx0x若未给f(x)解析式，只给f(x)图像，如何求导数f(x0)呢？……

这就是我们这节课要探讨的主题——导数的几何意义

板书：1.1.3 导数的几何意义

（二）、研探新知

（1）直观猜想导数的几何意义

问题2：已知函数yf(x)图像，根据图像请比较曲线f(x)在点P、Q处变化快慢（瞬时变化率）的情况并说明理由。

Q

P

14121086425101520-2

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【设计意图】：导数的本质瞬时变化率反映函数在一点处变化快慢程度，让学生从直观上直接感知瞬时变化率有可能就是切线斜率并直观理解导数概念中为什么用平均变化率来得到瞬时变化率,体会导数概念产生方式是自然的。

生1：点P处增得慢，点Q处增得快。因为P处切线斜率小，Q处切线斜率大。

师：大家认可他（她）的观点吗？（生点头表示同意）很好！

直观上，既然曲线在点P处的增长的快慢程度能由点P处切线的倾斜程度能刻画，那么意味着瞬时变化率（导数）与切线斜率应该有一种必然的联系。

好，还有与生1不同的理由吗？

生2：比较点PQ附近的曲线段的陡峭平缓程度也即用曲线段两端点的连线斜率可得

师：研究一点必须研究这一点附近的一段.这样做实际上就是把对瞬时变化率的比较转化为对平均变化率的比较，也即在用平均变化率近似刻画瞬时变化率，这正是导数概念中所蕴含的。

f(x0x)f(x0)ylim我们再回顾导数定义表达式f(x0)lim

x0xx0x（2）探究导数几何意义

yf(x0x)f(x0)问:在函数图像中，平均变化率表示什么？

xx生：两点Px0,f(x0)Qx0x,f(x0x)连线斜率，即割线PQ斜率

问：x0时，点Q怎样运动？

生：Qx0x,f(x0x)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))

问题3：点Qx0x,f(x0x)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PQ的变化趋势是什么？

几何画板演示【动画】：

学生观察【动画】：

生1：割线斜率越来越小

生2：割线越来越贴近曲线

生3：当两点重合时，割线变成了切线

师:

当点Qx0x,f(x0x)沿着曲线f(x)逼近点P(x0,f(x0))时，即x0，割线PQ趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。

板书切线定义

问题4：通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线。此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？

问：以前学习过圆的切线是如何定义的？

生：圆的切线定义用直线与圆交点个数或圆心到直线的距离来定义. 问：曲线在点P处切线用能用直线与切线的公共点个数来定义吗？你能否举出反例？

生：抛物线，三角函数等。

师：大家举的例子都挺好，我也举一例

几何画板演示

师评价：曲线在点P处切线不能再用直线与切线的公共点个数来定义。曲线在点P处切线与曲线可以有不止1个公共点. 直线与曲线只有一个公共点时，不一定是曲线的切线.

圆的切线定义并不适用于一般的曲线。

通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

结合【动画】的变化过程，探究导数的几何意义。

问题5：⑴割线PQ的斜率与切线PT的斜率k有什么关系？

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⑵切线PT的斜率k为多少？

⑶你能发现导数的几何意义吗？

学生先独立思考再小组交流

生：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k，即：klimx0fx0xf(x0)f(x0)

x板书导数几何意义

我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”，这样通过函数图像，我们给了导数f(x0x)f(x0)yf(x0)limlim以几何直观的解释，丰满了我们对导数的认识。

x0xx0x（4）以直代曲

师：导数f(x0)即瞬时变化率，它从数值上反映了函数f(x)在xx0附近的变化情况。

直观（几何意义）上说：用切线的倾斜程度反映曲线在某点附近陡峭平缓程度，即用直来刻画曲。为什么能用直来刻画曲呢？好，我们继续观察：

师：几何画板演示将函数曲线在某一点附近的图象放大得到一个近景图，你发现了什么？

生：图象放得越大，这一小段的曲线看起来越象直线

几何画板演示点Q沿着曲线f(x)趋近于点P时，你又有什么新的发现？

生：割线越来越贴近曲线

师：谁最贴近曲线？

生：没有最只有更！

那么：那么（割线的极限位置的直线）切线与割线谁更贴近点附近的曲线？

生：切线

师：过点P的切线PT最贴近点P附近的曲线f(x).因此在点P附近曲线f(x)就可以用过点P的切线PT近似代替，这就是微积分中重要的思想方法——以直代曲

以直代曲是微积分中重要的思想方法，即以简单的对象刻画复杂的对象. 大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线,所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即以直代曲. 板书以直代曲. （三）、知识应用、巩固理解

1.导数几何意义的应用

例题2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象。

t

Ot1

t2

t3t4

t0

【探究】

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1．请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？生答略

2．你对f/(x0)正负与f(x)单调性，f/(x0)大小与f(x)图象的“陡峭”、“平缓”程度的关系，有什么收获和发现？

【设计意图】：适时的解题反思为下面“导数在研究函数中的应用”的学习奠定基础

生答略

3．当切点运动时，切线斜率f/(x0)是否随切点横坐标x0的确定而确定变化而变化？它们之间是函数关系吗？

【设计意图】生成导函数概念

生答略。

师：可以看到，当xx0时，f/(x0)是一个确定的数，这样，当x变化时,

f/(x)

便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数. 请同学看书本导函数的定义. 例：（实际应用）火灾事故的突发与危害引发了人们对火灾的关注与思考。研究火灾逃生与救援，我们就要研究燃烧规律，下图是某物质燃烧过程中热释放速率与时间的函数图像，如何利用图像估计某点处的瞬时变化率呢？

【设计意图】:实际应用

生：作出切线利用网格估计斜率

四、课堂练习：

根据下列条件，分别画出函数图像在这点附近的大致形状

（1）f(1)1,f(1)1 （2）f(1)1,f(1)1 （3）

f(1)1,f(1)0

【设计意图】由数到形，领会以直代曲的思想，答案不唯一

学生交流并展示成果

五、总结反思，提高认识

请同学们反思本节的学习过程和得到的结论，你有哪些贡献和收获？还有哪些困惑？请同学们互相交流.

六、课后作业

1．习题P80A组5，6；B组2，3

2．求曲线yx2在点(1,1)处的切线方程，你有几种方法？跟大家交流

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板书设计

1．1．3导数的几何意义

1、曲线的切线新定义

2、导数的几何意义

3、“以曲代直”的思想

4、导函数的定义

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