3.1.3 导数的几何意义教案（名师）

1．1.3 导数的几何意义

【学习目标】

1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．

2．弄清函数在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)的区别与联系，会求导函数．

3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

【重点难点】弄清函数在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)的区别与联系，会求导函数．

重点：难点：根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

一、回顾旧知：

1、瞬时变化率：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平limΔy均变化率在Δx→0时的极限，即________＝Δ. x→0ΔxlimΔy2．导数的概念：一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是Δ＝________，x→0ΔxlimΔy我们称它为函数f＝f(x)在x＝x0处的导数，记作________或________，即f′(x0)＝Δx→0Δxlimf?x0＋Δx?－f?x0?＝Δ. x→0Δx二、新授

阅读教材第72—76页内容，然后回答问题

一、导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是________．相应地，切线方程为________．

二、导函数的概念

(1)定义：当x变化时，________便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称________)．

(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝____________. [知识点拨] “函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系

(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数值的增量与自变量的增量的比的极限，它是一个数值，不是变量．

(2)导函数的概念是针对某一区间内任意点而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，即函数f(x)的导函数f′(x)．

(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|. x＝x0三、例题

[典例1]

求函数在某点处的切线

例1、(1)求曲线f(x)＝x2＋2x＋3在点P(1,6)处的切线方程；

总结：若求函数f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线时，其解题步骤为：

(1)求出f′(x0)；

(2)根据直线的点斜式写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

π注意：若在点(x0，f(x0))处的切线的倾斜角为，则此切线平行于y轴，此时f′(x0)不存2在，这时可直接根据定义写出切线方程x＝x0；

典例二、求过某点的切线方程

例2、求过f(x)＝x3上的点(1,1)的切线方程．

总结：若求过点(x0，y0)的切线时，如果点(x0，y0)不在曲线上，求切线方程的步骤为：

(1)设切点坐标(x1，y1)；

(2)求f

′(x1)，利用斜率间的关系列出x1的方程，求出x1；

(3)写出切线方程，如果点(x0，y0)在曲线上，点(x0，y0)可能是切点，也可能不是切点(二次函数除外)，注意解题时分情况讨论.

课堂训练

求过点P(1,1)且与曲线y＝－x2相切的直线方程．

四、课堂小结

五、本节课学习内容中的问题和疑难