1.2.1 充要条件教案评析

1.2.1

充要条件

教材分析

充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础．这节内容被安排在高二第一学期第一章“常用逻辑用语”的第二节．

有了“四种命题”的知识铺垫，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念．

课时分配

本节内容用1课时的时间完成．

教学目标

重 点: 1．理解充要条件的意义．

2．命题条件的充要性判断．

难 点：命题条件的充要性判断．

知识点：1．充要条件的概念．

2．判断命题条件的充要性的方法．

能力点：1．理解并掌握充要条件的概念．

2．掌握判断条件的充要性的方法．

3．培养学生简单的逻辑推理能力．

自主探究点：充要条件的证明；从集合角度充分理解命题关系．

考 试 点：充要条件的概念、等价转化的思想．

易错易混点：概念比较抽象,加强对充分条件与必要条件的理解．

教具准备：多媒体

一、复习引入

一种逻辑关系的四种表达形式 : ①“若p则q”为真命题； ②pq; ③p是q的充分条件； ④q是p的必要条件. 【设计意图】

温故知新，对充分条件与必要条件的理解是本节课的基础．

练习:判断正误

22xyxy(Ⅰ) ①是的充分条件.( ) 22xyxy

②是的必要条件.( ) (Ⅱ) ①sinAsinB是AB的充分条件.( ) ②sinAsinB是AB的必要条件.( ) (Ⅲ) ①ab是ab的充分条件.( )

②ab是ab的必要条件.( ) (Ⅳ) ①

2222xxxx是x0的充分条件.( ) ②

是x0的必要条件.( ) 答案:(Ⅰ)√× (Ⅱ) ×√ (Ⅲ) ×× (Ⅳ) √√

讨论: 问p是q的什么条件时共几种情况? 共4种情况：

（1）p是q的充分不必要条件；

（2）p是q的必要不充分条件；

（3）p是q的既不充分又不必要条件； （4）p是q的既充分又必要条件. 【设计意图】进一步巩固对充分条件与必要条件的理解，同时引入充要条件的概念.

二、探究新知

定义：一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：“pq”，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q是p的充要条件.概括地说:如果pq,那么p与q互为充要条件.也说p与q等价.

例1. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p:b0，q:函数f(x)ax2bxc是偶函数；

（2）p:x0,y0，q:xy0；

（3）p:ab，q:acbc. 解:在(1)(3)中，pq，所以(1)(3)中的p是q的充要条件.在(2)中，qp，所以(2)中的p不是q的充要条件.【设计意图】通过例题的分析让学生理解判断充要条件的步骤.

例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：

“x20”(1) 是的＿＿＿＿条件.

“(x2)(x3)0”(2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件. 2(3)“x3”是“x9”的＿＿＿＿＿＿条件. (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件. 答案:⑴必要不充分⑵充要⑶充分不必要⑷既不充分也不必要

【设计意图】让学生独立运用充要条件的概念去分析解决问题,灵活运用知识.

练习

在下列电路图中,开关A闭合是灯泡B亮的什么条件:

⑴如图①所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件; ⑵如图②所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件; ⑶如图③所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件; ⑷如图④所示,开关A闭合是灯泡B亮的__________条件. 答案:⑴充分不必要

(2)必要不充分

（3）充要

（4）既不充分也不必要

思考探究: ⑴p是q的充分不必要条件，相当于PQ ⑵p是q的必要不充分条件，相当于QP ⑶p是q的充要条件，相当于P=Q

例3、已知p:－2≤x≤10，q：1－m＜x＜1＋m

(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【解】

p：－2≤x≤10. q：1－m＜x＜1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件．

即{x|－2≤x≤10}

{x|1－m＜x＜1＋m}，

1m2故101m，

解得m＞9.又m>0 实数m的范围为{m|m>9}．

【设计意图】理解和演练集合的包含关系与充分，必要条件的关系.

三、运用新知

例4. 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．

求证：dr是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：设p:dr,q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（pq）和必要性(qp)即可．

证明：（１）充分性（pq）：

作OPl与点P，则OPd．若dr，则点P在⊙O上．

在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在RtOPQ中，OQOPr．

所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．

所以直线l与⊙O相切．

（２）必要性(qp)：

若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OPl．因此，dOPr．

【设计意图】(1)充分性证明：条件⇒结论；必要性证明：结论⇒条件． (2)在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

练习：求证q0是实系数一元二次方程x2xq0有两个异号根的充要条件．

证明：（1）先证充分性

∵q0，

∴方程x2xq0的14q0．

∴方程x2xq0有两个不相等的实根，设其为x1，x2．

∵x·1x2q0，

∴方程x2xq0有两个异号实根．

（2）再证必要性

∵方程x2xq0有两个异号实根，设其为x1，x2

∴x·1x20，

∵x·1x2q，

∴q0．

由（1）（2），原命题得证．

四、课堂小结 1.四种条件的判断：

条件p与结论q的关系

pq且qp

结论

p是q成立的充分不必要条件

p是q成立的必要不充分条件

p是q成立的充要条件

p是q成立的既不充分也不必要条件

pq且qp

p⇒q，q⇒p，即p⇔q

pq且qp

2．证明p是q的充要条件，应分两步：

①

充分性：p推出q. ②

必要性：q推出p. 【设计意图】引导学生学习上要善于总结．

五、布置作业

课本P12

练习

1，2 习题A组2,3,4