12.1 二次根式名师教学实录

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数学教学设计

教

材：（八年级下册）

作 者：陈耀宽

12.1 二次根式

1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；

教学目标

2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；

3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．

教学重点

探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．

1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的性质；

教学难点

2．理解、掌握、运用二次根式性质（a

）2＝a（a≥0）．

教学过程（教师）

一：复习引入：

4的平方根是（ ），4的算术平方根学生活动

观察图片，回答问题．

学生一：正方形的边长是设计思路

回忆有关知识

Sπ

给学生展现生活中常见的两张图片，让学生感受到数学知识的学习的源动力来自于生活，激发学生探求数学知识与生活中的实际问题联系的欲望，避免知识的机械呈现．

是（ ）。 30

m；

3的平方根是（ ），3的算术平方根是（ ）。

a≥0时

a的平方根是（ ），a的算术平方根是（ ）。

二．情景引入：

情景一

这是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察发现：水域部分是正方形，外围是圆．

学生二：圆的半径是m；

学生三：钢索的长度是a2＋81

m．

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如果该正方形的面积为30m2，你知道该正方形的边长是多少米吗？

如果该圆的面积为S m2，你知道该圆的半径是多少吗？

情景二

这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是9m，垂直距离是am．同学们知道这根钢索的长度吗？

课题引入：

30

、S

、a2＋81

、…．这些式子π积极思考，回答问题．

从由学生熟悉的情1．这些式子都含有根号…；

景入手得到式子，结合平2．符合这些特征的式子有：方根的概念，引导学生理16

、2

、a

、…．

解所给的一些式子的实际意义，从而自然给出二次根式的意义．

有什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一些例子吗？

思考探索一：

1．例1下列哪些式子是二次根式？为什么？

（1）35

；（2）―(―3)3

；（3）2

；

21．互相讨论，踊跃回答：

通过学生相互讨论参考答案：（1）、（2）是二使学生主动参与到学习次根式，（3）、（4）都不是．

活动中来，培养学生合作2．独立思考，直接回答：

交流的学习习惯，问题设参考答案：（1）、（3）、（4）置的目的，是使学生充分是二次根式，（2）不是．

3．集体讨论，代表解答：

（1）没有意义，因为负数理解二次根式的意义．

（4）xy

（x、y异号）．

2．说一说，下列各式是二次根式吗？

为什么？

（1）32

；（2）－12

；（3）a＋1

；

2没有算术平方根；

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（4）－m

（m≤0）

（2）不可能，即a

是非负3．（1）当a＜0时，a

有意义吗？为什数，当a≥0时，a

≥0．

么？

（2）当a≥0时，a

可能为负数吗？为什么？

思考探索二：

1．例2 x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？

（1）x1；（2）x22；（3）x2；（4）

132x1．小组讨论，代表回答：

通过学生相互讨论（1）解：由二次根式的意设置的问题2，侧重巩固义知：x＋1≥0，∴x≥－1，

对二次根式意义的理解，∴当x≥－1时，

式子提高学生分析问题的能．

x1在实数范围内有意义．

（2）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有x2＋2≥0．

∴x取任何实数时，式子力，培养学生善于思考、精益求精的良好思维习惯，培养学生缜密、严谨的逻辑推理能力．

x22在实数范围内都有意义．

（3）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有－x2≤0，

又∵二次根式的被开方数大于等于零；

∴－x2≥0，∴x2＝0，即x＝0 ，

∴当x＝0时，

式子x2在实数范围内有意义．

（4）解：由题意知：3－2x≥0．

3－2x≠0∴3－2x＞0，∴x＜3，

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∴当x＜31时，在232x实数范围内有意义．

2．独立思考，直接回答．

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思考探索三：

（1）（ 4 ）2＝ （2）（2）（

0.01 ）＝

（3）（

5 ）2＝ （4）（4 )（

3

）2＝

（a

） = （ a ）(a≥0) 例3 计算：

2（1）（12）2；（（3）2；

221．小组交流，代表回答：

通过观察一些特殊运用从特殊到一2

是2的算术平方根，根的情形，据算术平方根的意义，（2

）2般的数学思想归纳猜想二次根式的性质，再运用＝2，同理：（4

）2＝4，（9

）算术平方根的意义进行222＝9，（0.01）＝0．01，（30

）科学的说理验证．

＝30．

事实上，a

（a≥0）是a

通过例三的设置，理解二次根式的性质，能直的算术平方根，根据算术平方根的意义，可知：当a≥0时，（a）接运用其性质解决问题．

2

（3）（ab）2（a＋b≥0）．

1．若实数x、y满足 ＝

a．

2 2．解：（1）（12）＝ 12；

通过问题1、2的设置，理解二次根式的性x3

＋（y＋2）2＝0，

求y x

的值．

2．如图，长33米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角11米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．

（2）（22

2）＝；

33（3）当a＋b≥0时，质，能运用其性质解决一些简单的综合性的问题，提高学生的计算、理解和综合运用能力．

（ab）＝a＋b．

3．解：（1）（x21）2－（x2）2

＝

x 2＋1－x2＝1；

233

（2）（36）2＝32×（6）2＝9×6＝54；

11

．

（3）（－212）2＝2（－2）×（122）＝4×1＝2．

24．h＝4米．

5．略．

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总结：

1．二次根式的意义；

2．二次根式有意义的条件；

3．二次根式的基本性质．

讨论后共同小结．

师生互动，锻炼学生严谨的口头表达能力，培养学生有条理地梳理知识点、有目的地整合知识点之间的能力．

检测与反馈

独立完成，自查反馈．

进一步理解二次根式的意义与二次根式基本性质的运用．

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