直角三角形的性质与判定优质课一等奖教案

2 直角三角形

第1课时

直角三角形的性质与判定

教学目标

一、基本目标

1．掌握勾股定理及其逆定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题．

2．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，明确原命题成立，其逆命题不一定成立．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)及判定定理的证明方法．

【教学难点】

运用定理解决与直角三角形有关的问题．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P14～P16的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

(一)直角三角形的性质与判定

1．直角三角形的两个锐角互余．反之，有两个角互余的三角形是直角三角形．

2．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

3．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是(

D

) A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5 5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若b＝5，c＝13，则a＝12；若a＝8，b＝6，则c＝10.

(二)命题与逆命题

1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

2．如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，CD⊥AB于点D.求：

(1)AC的长；

(2)△ABC的面积；

(3)CD的长．

【互动探索】(引发学生思考)观察图形与已知条件，利用勾股定理求AC的长，利用三角形的面积公式计算△ABC的面积，利用等面积法求CD的长．

【解答】(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，∴AC＝AB2－BC2＝12 cm. 1(2)S△ABC＝CB·AC＝30 cm2. 211(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，

22AC·BC60∴CD＝＝

cm. AB13【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，一般是先利用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．

【例2】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．

(1)两直线平行，同旁内角互补；

(2)垂直于同一条直线的两直线平行；

(3)相等的角是内错角；

(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．

【互动探索】(引发学生思考)什么是逆命题？逆命题一定是真命题吗？

【解答】(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．该逆命题是真命题．

(2)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)．该逆命题是真命题．

(3)逆命题：内错角相等．该逆命题是假命题．

(4)逆命题：等边三角形有一个角是60°.该逆命题是真命题．

【互动总结】(学生总结，老师点评)逆命题的条件是原命题的结论，逆命题的结论是原命题的条件．

1【例3】如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD，求证：CE⊥EF. 4

【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证CE⊥EF，考虑证△CFE是直角三角形．结合已知条件，可考虑利用勾股定理的逆定理进行证明．

【证明】如题图，连结CF，设正方形的边长为4.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC1＝CD＝DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3，∴由勾股定4理，得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(

D

) A．∠A＋∠B＝∠C

B．∠A－∠B＝∠C

C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C

2．如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(

A

)

A．直角三角形

C．钝角三角形

B．锐角三角形

D．以上答案都不对

3．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形．

4．如图所示，以Rt△ABC的三条边为边长分别向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1＝4，S2＝8，则S3＝

12.

5．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．

(1)求证：∠ACD＝∠B；

(2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则求CD的长．

(1)证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B. 11AC·BC3×412(2)解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB·CD＝AC·BC，∴CD＝＝＝. 22AB55活动3

拓展延伸(学生对学) 【例4】如图所示，在等腰直角三角形OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰直角三角形OA1A2，以OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，…，则OAn的长度为______．

【互动探索】∵△OAA1为等腰直角三角形，OA＝1，∴OA1＝2OA＝2.∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴OA2＝2OA1＝2＝(2)2.∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2OA2＝22＝(2)3.∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝2OA3＝4＝(2)4，…，∴OAn＝2OAn－1＝(2)n. 【答案】(2)n

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理是解题关键．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 1．直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)．

2．直角三角形的判定

有两个角互余的三角形是直角三角形如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

3．逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

4．如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时

直角三角形全等的判断

教学目标

一、基本目标

1．能够证明直角三角形全等的“HL”定理，并能利用“HL”定理解决实际问题．

2．进一步掌握推理证明的方法，提升演绎推理能力和思维能力．

二、重难点目标

【教学重点】

直角三角形全等的判定方法．

【教学难点】

直角三角形全等的判定的应用．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P18～P20的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．证明三角形全等的方法有：AAS 、ASA、SAS、SSS. 2．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”．

3．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是(

A

)

A．HL

C．SAS

B．ASA

D．AAS

4．下列条件中能判定两个直角三角形全等的有(

D

) ①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；

④有一条直角边和一个锐角对应相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．

A．6个

C．4个

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. B．5个

D．3个

【互动探索】(引发学生思考)证明三角形全等的方法有哪些？已知两边对应相等可以寻找哪些条件证明三角形全等？

【证明】∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．

【例2】如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE. BF＝CE，中，∵

AB＝CD，

【互动探索】(引发学生思考)从图中可以知道，要证BC＝BE，可以从三角形全等入手．观察图形判断Rt△ADC和Rt△AFE全等吗？Rt△ABD和Rt△ABF呢？

【证明】∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠D＝∠F＝90°.在Rt△ADCAC＝AE，和Rt△AFE中，∵∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴CD＝EF.在Rt△ABD和AD＝AF，AB＝AB，Rt△ABF中，∵∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD＝BF，∴BD－CD＝BF－AD＝AF，

EF，即BC＝BE. 【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．下列条件中能说明两个直角三角形全等的是(

D

)

A．锐角分别相等

B．一条直角边分别相等

C．斜边分别相等

D．两直角边分别相等

2．如图所示，AB∥EF∥DC，∠ABC＝90°

，AB＝DC，那么图中共有全等三角形(

C

)

A．5对

C．3对

B．4对

D．2对

3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，再补充一个条件BC＝EF(答案不唯一)，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF. 4．如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F，BE＝DF. 求证：Rt△BCE≌Rt△DCF.

证明：连结BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC.∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°.在Rt△BCE和Rt△DCF中，BC＝DC，∵

∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)．

BE＝DF，

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.点P、Q分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A、C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？

【互动探索】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出点P的位置；(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．

【解答】分情况讨论：(1)当点P运动到AP＝BC时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，∠C＝∠QAP＝90°，BC＝AP，AB＝PQ，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；(2)当点P运动到与点C重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．

【互动总结】(学生总结，老师点评)判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”．

练习设计

请完成本课时对应练习！