2.2.1 椭圆的标准方程课堂实录及点评

课题;双曲线及其标准方程

一、

内容及其解析

本节课要学的内容包括双曲线概念及其标准方程。其核心内容是：双曲线的标准方程;理解它关键是：让学生亲自参与探究。

学生在以前已经学过两点之间的距离，本节课的内容就是要用到两点之间的距离公式推导双曲线的标准方程。教学难点是根据双曲线概念推导双曲线标准方程以及区别双曲线的焦点在不同坐标轴下的标准方程

。

解决难点的关键是：学生能亲自参与到推导的过程中，同时类比椭圆的学习。.

二、

目标及其解析

1.

正确理解双曲线的概念

2.了解双曲线的标准方程推导过程，掌握双曲线标准方程的两种标准形式，并能求出基本的双曲线方程。

三、

教学条件

在本节课椭圆的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。因为使用多媒体

辅助教学有利于学生对椭圆性质从直观到具体的把握。

四、

教学设计过程

问题一：如何理解双曲线的概念？

设计意图：正确理解双曲线的概念及推导过程

师生活动：

复习：椭圆的概念是什么？我们如何确定椭圆的标准方程？椭圆的位置在什么

地方，得到的方程最简单？

问题1你能画出椭圆的图像吗？

类比探究：（1）取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1,F2上，笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭合，画出的轨迹是什么曲线？若把直线对换，两端固定，你得到的又是什么几何图形？

结论：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之差等于常数2a（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离F1F2叫做双曲线的焦距。如果把直线对换，得到的是双曲线的另一支。

问题二：如何根据双曲线的概念来刻画出双曲线上的动点轨迹？

设计意图：双曲线轨迹方程的推导过程能够加强学生推理能力

复习：还记得以前学过的两点之间的距离公式吗？

Ax1,y1,Bx2,y2如何求AB？

探究：我们怎样建立坐标系才能使双曲线的方程最简单？

推导方程：（以下方程推导过程由学生完成）

建系：以和所在直线为轴，线段的中点为原点,线段F1F2的垂 直平分线为y轴建立直角坐标系xOy；

设点：设是双曲线上任意一点，设，则，；

由定义：MF1MF22a得(xc)2y2(xc)2y22a；

类比椭圆标准方程的化简过程，化简上式得：(c2a2)x2a2y2a2(c2a2) 两边同时除以a2(c2a2)得

x2y21

222aca 由双曲线的定义知，2c2a,即ca。所以c2a20

类似椭圆标准方程，令c2a2b2代入上式，得

x2y221(a0,b0)

2ab

从上述过程可以看到，双曲线上任意点的坐标都满足方程，以方程的解(x,y)为坐标的点到双曲线两个焦点(c,0),(c,0)的距离之差的绝对值为2a,即以

方程的解为坐标的点都在双曲线上，这样，我们把方程叫做双曲线的标准方程。它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2a2b2。

思考：你能从图形中找出表示a,c,b的线段吗？它们之间的关系是什么？

思考：如果焦点F1,F2不在x轴上，而是在y轴上，且F1,F2坐标分别为0,c,0,c，a,b的意义同上，那么双曲线的标准方程是什么？

y2x2此时，容易知道椭圆标准方程为221a0,b0

ab例1 ,F25,0，已知双曲线的两个焦点的坐标分别是F并且双曲15,0线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6，求它的标准方程。

（设计意图：能够根据基本信息求出双曲线的标准方程）

,F20,5，并且变式训练：已知双曲线的两个焦点的坐标分别是F10,5双曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6，求它的标准方程。

五、

本课小结

（1）

双曲线的概念

（2）

在平面中所有双曲线的位置中，当焦点在X轴（标准方程为x2y2y2x221a0,b0）与Y轴上（标准方程221a0,b0）2abab时的标双曲线准方程最简单。

（3）

a,b,c之间的关系c2b2a2

（4）

动点到两定点的距离之差的绝对值表示为2a（即MF1MF22a），两定点的距离表示为2c即（F1F22c）。

六、教学反思

学生在学习双曲线标准方程的时候，可能遇到的问题是理解不了不同位置下得到的标准方程不一样，此时需要教师多引导学生对比平面上双曲线的位置，找到最简单的两种位置和推导出此时的双曲线的标准方程。