2.3.2 双曲线的几何性质教学实录与评析

§2.3.2

双曲线的简单几何性质

教学目标

1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。

2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。

教学重点、难点

重点：双曲线的几何性质及初步运用。

难点：双曲线的渐近线。

教学过程

一、复习提问引入新课

1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？

2．双曲线的两种标准方程是什么？

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．

二、类比联想得出性质(范围、对称性、顶点) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格

三、渐近线

双曲线的范围在以直线ybbx和yx为边界的平面区域内，那么从x、y的变化趋势看，双曲线aax2y2b与直线1yx具有怎样的关系呢？

a2b2a根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线ybx的关系。

a

双曲线在第一象限的部分可写成：y

b2xa2xa

a设Mx,y是它上面的点，Nx,7是直线ybbx上与M有相同的横坐标的点，则yx

aab2babyxa2x1xy

aaxa2|MN|yybbxx2a2

aa2xx2a2x2x2a2xxaabxxa22

bx的距离，则有|MQ||MN|。

a当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在设|MQ|是点M到直线y第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．

在其他象限内也可以证明类似的情况．

b我们把两条直线yx叫做双曲线的渐近线。

a现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字母对

y2x2ba调而得，所以，双曲线221的渐近线的方程是xy即yx。

ababbx2y2ay2x2定义：直线yx叫做双曲线221的渐近线；直线yx叫做双曲线221的渐近线。

aabbab这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确地画出双曲线。

x2y24例如：画双曲线1，先作渐近线yx，再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线。

25165四、离心率

由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

1．双曲线的焦距与实轴的比ec叫做双曲线的离心率，且e1。

abc2a2c2bb21e12．由于，所以越大，也越大，即渐近线eyx的斜率绝对值越大。aa2a2aa

这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。

这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

五、例题讲解

x2y2例1求双曲线1的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．

43分析：由双曲线的标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐a近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐近线是yx．

b例2：

已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为4，求双曲线的标准方程。

3x2y2例3：求与双曲线1共渐近线，且经过A23,3点的双曲线的标准方及离心率．

169分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；方法二可直接设所x2y2求的双曲线的方程为mmR,m0

169

求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．

例4 ：如图，设Mx,y与定点F5,0的距离和它到直线l：x迹方程．

分析：若设点Mx,y，则|MF|165的距离的比是常数，求点M的轨54x52y2，到直线l：x1616的距离dx，则容易得点M的55轨迹方程．

例5：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m，

上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度

量精确到1m）．

六、课堂练习

1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．

⑴16x29y2144；

⑵16x29y2144

2．求双曲线的标准方程：

⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上； ⑵焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；

29⑶离心率e2，经过点M5,3；

⑷两条渐近线的方程是yx，经过点M,1。

32x2y23．求以椭圆1的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。

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