4.5 反函数的概念教学创新设计

《反函数》教学设计

城桥中学

邬江

一、教学目标

1．掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数

2．掌握互为反函数的两个函数具有的性质，并在解题中加以运用。

3. 培养逆向思维能力和逻辑思维能力，树立对立统一的辩证思维观点。

二、教学重点和难点

重点：反函数的求法

难点：反函数的定义

由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节

三、教材分析

反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分

本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识

本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握

四、学情分析

在学习本节课之前，学生已经对函数的概念、表示法等内容进行了学习，对函数有了更进一步的认识和了解，有了这些知识储备，学生在本节课的学习中完全可以在教师的指导下进行思考和理解，但考虑到我校学生的基础比较薄弱，理解能力和接收能力欠缺，故应该适当降低难度，以具体事例为主，从而更加有利于学生对这部分的理解和掌握。

五、教学过程

教学

环节

复习

引入

教学内容

物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量,

提问：

（1）试说出函数s=vt的定义域和值域

(2)将函数s=vt改写成函数从表达式的角度去观察函数的定义域和值域

为学生认识反函数的定义做好准备

教师活动

学生活动

设计意图

t概念

形成

对于函数y2x6，x是自变量，y是x的函数，定义域xR，值域yR.

s定义域和值域又如何? v学生回答：是函数，因为x在R中都有唯一的值和它对应. 其中y为自变量，x为y的函数，定义域是yR，值域是xR.

通过基本函数的例子进一步让学生理解函数的本质，

提问：从函数y2x6中解出x，就可以得到式子xy3. 这是函数吗？如2果是，它的定义域和值域是多少？

概念

形成

反函数的定义

一般地，设函数yf(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数yf(x)(xA)的反函数，记作请同学们根据以上的例子尝试给反函数下一个定义，老师不断补充完善，形成一个完整的概念，并用多媒体将定义呈现出来。

学生讨论并回答

通过两个的特殊函数使学生对反函数有了初步的认识，然后通过集体讨论进行概念归纳，

xf1(y),习惯上改写成yf1(x)

概念

深化

探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？

探讨2：互为反函数定义域、值域的关系

定义域

值

域

教师设计以下问题组织学生讨论思考回答：

问题1：函数yx2有反函数吗？

问题2：加怎样的条件可以使函数yf(x)

A C 1yf(x)

反函数C A yx2有反函数？

学生对问题1的思考体会反函数的本质，

学生对问题2的思考体会满足什么条件的函数具有反函数

学生对问题2的思考体会

原函数与反函数定义域、值域的关系

通过对两个问题的探讨，引导学生认识以下两点：（1）函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质。（2）函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件。教师层层深入地提出问题，学生根据教师的诱导，思考问题并积极回答问题，加深对定义的理解。

概念应用

例1．求下列函数的反函数：

选取例1（1）板书示范并归纳解题的步骤，其余三小题请①y3x1(xR)；

②yx31(xR)；学生板演，其余学生在下面自2x3己完成，板演过程中巡查其他(xR,且x1). ③yx1(x0)；

y同学的解题情况，及时纠正错x1误，然后就板演的同学所出现2例3求函数

y11x

（1

的步骤上的问题进行及时纠正，教师要适时引导学生做好22解：∵

1

∴0

∴0<1 x

< 1

解题步骤的总结。

∴

0 <1x2< 1

∴0 < y <1

例2教师引导学生观察、讨论22由：y11x

解得：x2yy

(∵

并归纳判断函数奇偶性的步骤以及举反例的方法。

21< x < 0 )∴y11x(1

在教师引导下掌握判断函数奇偶性的步骤与方法，尤其是举反例这一重要的数学思想方法。

通过例1和例2解决如下问题：

①

根据定义证明一个函数是奇函数或是偶函数的步骤是：第一步先求函数的定义域。第二步在定义域中任取实数x。第三步验证f(x)f(x)还是f(x)f(x)。第四步下结论。

②

判断函数的奇偶性先要看定义域是否关于原点对称，如果不对称直接下结论；如果对称，验证y2xx2(0

已知f(x)= x-2x(x≥2),求f221(x). 解法1：⑴令y=x-2x，解此关于x的方程得x244y244y，∵x≥2，∴x，22f(x)f(x)还是即x=1+1y--①,

∵x≥2，由①式知1y≥1，∴y≥0--②, ⑶由①②得f1f(x)f(x)，若上述等式不成立则举反例说明。

③

f(x)0既是奇解法2：⑴令y=x-2x=(x1)2-1，∴(x1)2=1+y，

∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1=1y--①,即x=1+1y,

⑵∵x≥2，由①式知1y≥1，∴y≥0, ⑶∴函数f(x)= x-2x(x≥2)的反函数是；

f1(x)=1+1x（x≥0）说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x，也可以用配方法求x，但开方时必须注意原来函数的定义域

22；

(x)=1+1x（x≥0，x∈R）函数又是偶函数，可进一步引导学生探究一个函数既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数，前提是定义域关于原点对称。

④

总结：对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函但不是偶函数，是偶函数不是奇函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数。

让学生谈本节课的收获，并反思存在的疑惑。

学生总结本节课所学到的数学知识，并反思存在的疑惑。

关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获。

通过作业使学生进一步巩固本节课所学内容。同时通过课后思考让学生延伸到课外探究奇、偶函数的图像特征为后续学习打下基础。

归纳

小结

布置

作业

从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结。

1．

校本教材《习题集》上《函数的奇

偶性》这一节。

2．课后思考：

（1）如果一个函数是偶函数，那么它

的图像是否关于y轴对称？

（2）你能说明理由吗？

（3）那么奇函数呢？

六、板书设计

一、定义

例1．求下列函数的反函数：

例3求函数

y11x2（1

；反函数的定义

一般地，设函数yf(x)(xA)的值域是C，①y3x1(xR)；

②yx31(xR)例4

已知f(x)= x-2x(x≥2),求f

根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，

③y21(x)

x1(x0)；

④y2x3(xR,且x1)

x1得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，

例2．求函数y3x2（xR）的反函数，并画出原来的函数和它的

通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，解：由y3x2解得x它们的图像为：记作xf1y2x2(xR)

∴函数y3x2(xR)的反函数是，y334(y),习惯上改写成yf(x)

1y=3x-2321

那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数

这样的函数x=(y) (yC)叫做函数yf(x)(xA)的反函数

，

，反函数的图像

-4-22x+2y=346y=x-1-2

-3七、设计说明

根据新课程教学理念，数学教学不仅是使学生掌握一定的知识与技能，同时要实现学生身心的全面发展，这就要求改变传统教学过于注重传授知识的倾向，让学生在课堂上真正动起来，切实实现学生的主体地位。

在学习函数奇偶性之前，已经学习了函数的概念及函数的图像，使得学生具备了利用函数解析式研究数形性质的基本知识，同时联系初中所学的图形中心对称和轴对称，为下一步形成知识网络创造了条件。同时我所上班级的学生较活跃，课堂上发言积极，大部分学生都能在教师的诱导下发现规律，达到掌握的目的。但是函数奇偶性这节内容较为抽象，为了使学生更好的理解和领悟，我关注学生已有的知识基础和学习经验，精心设计问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生积极探索，并在探索过程中发现乐趣，发现规律和获得知识的体验和应用。

八、教学反思

成功之处：

数学概念是构建数学理论大厦的基础。清晰、准确的数学概念是正确思维的前提,也是提高解题能力的必备条件，因此, 函数的奇偶性这个数学概念如何提出、理解以及引导学生如何探索、发现是本教学设计的重点与难点。

本次教学设计始终体现了新课程理念,具体注意了以下几个方面: 第一：精心设计对称性的引入，直观自然地引出了函数图像的对称性。在课堂教学中,合理引入抽象的概念,能够激发学生学习的兴趣,帮助学生理解教材内容、加深印象从而能迅速地把学生的注意力吸引到教学活动中。

第二：充分调动学生的学习积极性和自主能力，让学生归纳，总结奇、偶函数的特性。我让学生通过图像直观获得函数奇偶性的认识,然后利用表格探究数量变化特征,并通过代数运算验证数量特征对定义域中的任意自变量都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。这一过程切实改进了学生的学习方式，引导学生经历观察、实验、猜想、推理、交流、反思最后掌握知识过程。

第三：本次教学活动中着重培养学生的提出问题、分析问题、解决问题的能力。教材由两个函数图像入手，观察得出规律，直接给出奇、偶函数的定义，我觉得对于定义中所表述的“定义域”和“任意”等关键字并没有给予应有的重视，可能使学生在做题时忽略了这一点，引起错误。我是这样处理的，通过设计具体的问题请学生按照奇、偶函数的定义来判断函数是否是奇、偶函数。通过这样的方法，让学生体会定义域的对称对判断函数奇、偶性的重要性。从而使学生们加深对奇、偶函数定义的理解。

不足之处：

1．通过填写表格来发现具体函数自变量与函数值之间的关系时，从具体的数值一下子过渡到抽象的字母时应该处理得更加细致一点，对于基

础比较差的学生不一定能很好地理解定义中的“任意”两字。

2．由初中从“形”的角度来研究平面图形的对称性到高中从“数”的角度来研究函数图象的对称性，这一衔接处理得不够流畅，可能给学生

理解奇、偶函数图象的特征带来障碍。

3．

作为探究型课，本节课充分调动了学生的积极性，让学生充分讨论，得出一些结论。因此课堂气氛较为活跃。学生不仅能在课堂上勇于

发言，而且还敢于质疑并且能做到言之有理，还能积极参与小组讨论交流，共同分享团队协作的成果。遗憾的是，由于对时间的把握不是太好，导致将一些问题的探究只能延伸到课外。

1、根据本节课的内容及学生的实际水平，采取引导发现式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。

2、电脑多媒体以声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，这一点是粉笔和黑板所不能比拟的，采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一堂课的信息容量，使教学目标更完美地体现。另外，电脑软件具有良好的交互性，可以将教师的思路和策略以软件的形式来体现，更好地为教学服务。

3、在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、自我发现的学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。整个过程贯穿“怀疑”——“思索”——“发现”——“解惑”四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意，思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程，符合学生认知水平，培养了学习能力。