6.4 反三角函数教案1

第13课时

6.4反三角函数（1）

反正弦函数

【教学目的】

〖知识目标〗

①掌握反正弦函数的概念，

②并会求特殊角的反正弦函数值。

③会用反正弦函数值表示角。

〖能力目标〗培养学生观察，分析和实际操作能力。

【教学方法】传授法。

【重

点】反正弦函数的概念、图像及性质。

【难

点】对反正弦函数概念的理解。

【预备知识】正弦函数的在关知识，反函数的概念。

【授课内容】

一、复习：正弦函数的图像和性质

二、新课：反正弦函数：

①正弦函数在定义域内没有反函数。

②如果对任意x[,]，ysinx在[1,1]上都有唯一的值与x对应，这样22ysinx在x[22yarcsinx,x[1,1]，它的值域为[,]，图像与ysinx，x[,]的图像2222关系直线yx对称。

y y



1 2

1 2

2

-1 O 1 O x x

22-1 -1

2

④从图像可知，yarcsinx,x[1,1]是增函数，且为奇函数。

⑤sin(arcsinx)x,x[1,1]。

⑥arcsin(x)arcsinxx[1,1]，

,]上就有反函数。

22x，x[,]的反函数叫做反正弦函数。记作③函数函数ysinsin(arcsinx)x,x[1,1]。

arcsin(sinx)x,x[

,]。

22

【例1】求下列反正弦函数的值。

13；（2）arcsin0；（3）arcsin()。

2233【解】（1）因为sin，且[,]，所以arcsin。

3222332，所以arcsin00。

（2）因为sin00，且

（1）arcsin0[,]2211（3）因为sin()，[,]，所以arcsin()。

2662622【例1】用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x：

（1）sinx

（3）sinx1；3sinx,x[,]；

（2）,x[,]4222253,x[0,]。

3【解】（1）因为x，由定义，可知[,]223。

511（2）因为x[,]，由定义，可知xarcsinarcsin。

22443（3）在区间[0,]上，由定义可知xarcsin；

233

在区间(,]上，由诱导公式，可知xarcsin满足sinx3，

2333

因此xarcsin或xarcsin3。

33【例3】化简下列各式

5；；

（1）（2）（3）arcsinsin3.49。

xarcsinarcsinsin9arcsinsin6【解】（1）因为。,]，ina，设s所以arcsina，即a

rcsinsin9229999555（2），设sinsin[,]，而[,]，且sinsina。

[62222665

所以arcsinsinarcsin(sin)arcsina。

666（3）因为3,49[,]，但0,49[,]，

2222而sin3.49sin(0.49)sin0.49。

666所以arcsinsin3.49arcsin(sin0.49)arcsin(0.49)0.49。

三、归纳总结：

①本小结内容：正确定理解反三角的概念。

四、课堂练习：

P108：1，2，3

五、课后作业：

六、教后感想：1.2.