5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切教案1

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第5讲

两角和与差的正弦、余弦和正切

[考纲] 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．

3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

知

识

梳

理

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan α±tan βtan(α±β)＝. 1∓tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝2tan α. 1－tan2α3．有关公式的逆用、变形等

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)．

(2)cos2α＝1＋cos 2α1－cos 2α2，sinα＝. 22π. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sinα±4b4．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中tan φ＝a.

辨

析

感

悟

1．对两角和与差的三角函数公式的理解

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．

(

) (2)存在实数α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β.

(

)

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1(3)(教材练习改编)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝2. ( ) 1－tan θπ(4)(教材习题改编)＝tan4＋θ. ( ) 1＋tan θ(5)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)＝－3. ( ) 2．对二倍角公式的理解

θθ(6)cos θ＝2cos22－1＝1－2sin22.

( ) α31(7)若sin 2＝3，则cos α＝－3.

( ) (8)y＝sin 2xcos 2x的最大值为1.

( ) π(9)设sin 2α＝－sin α，α∈2，π，则tan 2α＝3.



[感悟·提升] 一个防范

运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用.

考点一

三角函数式的化简、求值问题

【例1】

(1)4cos 50°－tan 40°＝(

)．

A.2

B.2＋32

( ) C.3

D．22－1 cos2α－sin2α(2)＝________. π2π2tan4－αcos4－α

规律方法

(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；

②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；

③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．

(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值知人善教

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与特殊角的三角函数互化．

【训练1】

(1)化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°＝________. θθ1＋sin θ＋cos θsin 2－cos 2(2)化简：(0<θ<π)＝____；

2＋2cos θ

考点二

三角函数的给角求值与给值求角问题

βπ1α2【例2】

(1)已知0<β<2<α<π，且cosα－2＝－9，sin2－β＝3，求cos(α＋β)的值；

11(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2，tan β＝－7，求2α－β的值．

规律方法

(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．

(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函π数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、余ππ弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－2，2，选正弦较好．

113π【训练2】

已知cos α＝7，cos(α－β)＝14，且0<β<α<2，

(1)求tan 2α的值；

(2)求β.

考点三

三角变换的简单应用

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1ππ【例3】

已知f(x)＝1＋tan xsin2x－2sinx＋4·sinx－4. (1)若tan α＝2，求f(α)的值；

ππ(2)若x∈12，2，求f(x)的取值范围．



规律方法

(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为关于正切tan α的关系式，为第(1)问铺平道路．

(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．

π【训练3】

已知函数f(x)＝4cos x·sinx＋6－1. (1)求f(x)的最小正周期；

ππ(2)求f(x)在区间－6，4上的最大值和最小值．



1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能知人善教

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化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．

2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．

3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形。

三角函数求值中的变角问题

π4π【典例】

(2012·江苏卷)设α为锐角，若cosα＋6＝5，则sin2α＋12的值为________．



[反思感悟] 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所α＋ββαπππ给条件．常见的变角技巧有：2＝α－2－2－β；α＝(α－β)＋β等；4＋α＝2－4－α；15°＝45°－30°等．

【自主体验】

π110，已知cos α＝3，cos(α＋β)＝－3，且α，β∈2，则cos(α－β)的值为________．



基础巩固题组

一、选择题

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1．计算cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于(

)．

1323A.2

B.3

C.2

D.2

π12．已知sin2＋α＝3，则cos(π＋2α)的值为(

)．

7722A．－9

B.9

C.9

D．－3

π33．已知cos4－x＝5，则sin 2x＝(

)．

187716A.25

B.25

C．－25

D．－25

34π4．已知α∈π，2π，且cos α＝－5，则tan4－α等于(

)．

11A．7

B.7

C．－7

D．－7 sin 2α－2cos2απ1π5．已知tanα＋4＝－2，且2＜α＜π，则π等于(

)．

sinα－4253525310A.5

B．－10

C．－5

D．－10

二、填空题

tan 12°－36．计算：＝________. 4cos212°－2sin 12°7．设f(x)＝1＋cos 2xπ2x＋4的最大值为2＋3，则常数a＝________. ＋sin x＋asinπ2sin2－xππ28．已知cos4

α－sin4

α＝3，且α∈0，2，则cos2α＋3＝________. 

三、解答题

ππ9．已知函数f(x)＝cosx－3－sin2－x. (1)求函数f(x)的最小正周期；

ππ3(2)若α∈0，2，且fα＋6＝5，求f(2α)的值．

知人善教

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10．已知函数f(x)＝－3sin2

x＋sin xcos x. 25π(1)求f6的值．

3α1(2)设α∈(0，π)，f2＝4－2，求sin α的值．



能力提升题组

一、选择题

π1π2β－α＋1．已知tan(α＋β)＝5，tan＝，那么tan等于(

)．

444131331A.18

B.22

C.22

D.6

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π2．已知α，β∈0，2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是(

)．

1333A.4

B.4

C.42

D.2

二、填空题

ππ3．若sinα＋6＝3sin2－α，则tan 2α＝________. 三、解答题

π4．已知函数f(x)＝2cosωx＋6(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值；

π55166(2)设α，β∈0，2，f5α＋3π＝－5，f5β－6π＝17，求cos(α＋β)的值．



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