5.3 同角三角比的关系和诱导公式优秀教学设计范文

第05章

三角比

第02节

三角恒等式

二、三角恒等式

6.4同角三角比的关系和诱导公式（4课时）

教学目标：

知道同角三角比公式的由来，特征与应用，知道这些关系式成立的条件。掌握8个同角三角比公式，会运用这些关系式解决一些三角恒等式的化简与证明问题。

分析2kπ±α，π±α，-α，±α与角终边位置关系的几何特征（对称关系），并借助单位圆与有关线段推导相应的诱导公式。

会运用诱导公式进行简单三角式的求值、化简与恒等式的证明。

重点难点：

重点：同角三角比公式、诱导公式的由来，特征与应用。

难点：同角三角比公式、诱导公式的由来，特征与应用。

教学过程：

1、

同角三角比的关系

我们知道，角的六个三角比都是用其终边上一点的坐标来定义的，利用这个坐标定义观察可以得到六个三角比之间的关系。

（1）倒数关系：tanα·cotα=1，cscα·sinα=1，secα·cosα=1；

（2）商数关系：sincos=tanα，=cotα及其变形；

cossin由于x2+y2=r2可以得到以下三个平方关系：

（3）sin2α+cos2α=1，sec2α=tan2α+1，csc2α=cot2α+1及其变形。

证明：（略，通过坐标定义）▋

这三种关系，八个公式，称为同角三角比的基本关系。可以用右图表示出来。

★“同角”的概念与角的表达形式无关。

如：sin23α+cos23α=1，tanα

secα

1 cotα

cscα

sinα

cosα

2tan等。

2cos2sin★上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。

★据此，由一个角的任一三角比值可求出这个角的其余各三角比值。当利用“平方关系”公式时，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只需用一次）。

5 – 3 - 1 200902

第05章

三角比

第02节

三角恒等式

例 1

判别下列命题真假（α、β取有关三角比都有意义的值）：

（1）csc(α+β)=（2）tan1sin()；（正确）

2·cot2=1；（错误）

（3）sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)；（正确）

sincos（正确）

tancot；cossin22（5）cos2+sin2=1；（正确）

（4）（6）sec22α-tan22α=1；（正确）。▋

例 2

（课本P43例1）

已知cosα=4，并且α是第四象限的角，求α的其他三角比。

53解：由于α是第四象限角，sin1cos2，

5tansin34，∴cot；

cos43∴secα=1515=，∴csc。▋

sin3cos4★若已知sinα（cscα），cosα（secα）只要通过一次平方关系就能求出其他三角比。

◆那么若已知tanα，cotα要求其他的三角比，需要通过几次平方关系？

练

1

（课本P45练习5.3（1）/1）

例 3

（课本P44例2）（课本P44例3由学生自习）

已知tanα=解：cotα=5，求sinα、cosα和cotα。

12112，

tan5112212cos()。

，∴2513cos1()212因为1+tan2α=sec2α=因为tanα>0，所以α是第一象限或第三象限的角。

当α是第一象限角时，sinα>0且cosα>0，∴cosα=125，sinα=。

1313125，sinα=。▋

1313当α是第三象限角时，sinα<0且cosα<0，∴cosα=5 – 3 - 2 200902

第05章

三角比

第02节

三角恒等式

练

2

（课本P45练习5.3（1）/2）

练

3

已知cosα=12，求sinα、tanα和cotα。

13解：因为-1

当α是第二象限角时，sinα>0，得sinα=1cos2=1(tanα=1225)；

1313112sin5。

，cotα=tan5cos125512，tanα=，cotα=。▋

13125当α是第三象限角时，sinα<0，得sinα=★可见，由任何一个三角比出发求其他三角比的值都只要用一次平方关系；倒数关系十分简洁，应充分利用。

★根据已知的三角比值，分象限讨论。

例 4

已知cotα=a求sinα和cosα。

分析：利用1+cot2α=csc2α，可求得cscα，从而可求得sinα和cosα。

解：当α的终边在x轴的上方时，cscα>0，得

111a21sinα====；

222csc1a1cot1acosα=sinαcotα=a1a21a2。

当α的终边在x轴的下方时，cscα<0，得

sinα=1a21a2；cosα=a1a21a2。▋

★注意平方关系的使用，及讨论的缘由、方法。

2、

同角三角比公式的应用——化简与证明恒等式

例 5

（课本P49例8）

证明下列恒等式：

（1）sin4α+sin2αcos2α+cos2α=1；

cos2cos222（2）=sinαsinβ；

cot2cot2（3）cosx1sinx=。

1sinxcosx5 – 3 - 3 200902

第05章

三角比

第02节

三角恒等式

证明：（1）左边=sin2α(sin2α+cos2α)+cos2α=sin2α+cos2α=1。

cos2cos2cos2cos2sin2sin222（2）左边====sinαsinβ。

2222cotcotcsc2csc2sinsin()22sinsin（3）（方法一，作差）

cos1sincos2(1sin)(1sin)∵=

(1sin)cos1sincoscos2(1sin2)cos2cos2===0，

(1sin)cos(1sin)cos∴cos1sin。

1sincos（方法二）

左边=cos(1sin)cos(1sin)cos(1sin)1sin====右边。

(1sin)(1sin)1sin2cos2cos（方法三，利用比例关系，对角相乘）

∵(1-sinα)(1+sinα)=1-sin2α=cos2α，又∵1-sinα≠0，cosα≠0，

∴cos1sin。▋

1sincos练

4

（课本P50练习5.3（3）/1，2）

例 6

化简：tancot；

secsin2cos2sincos1解：原式=cosα()=cosα==secα，

sincoscossincos★化简基本原则一：（1）切割化弦，（2）降次。

练

5

证明下列恒等式：

（1）(sinθ-cscθ)(cosθ-secθ)=1；

tancot（2）(1-tan2A)2=(sec2A-2tanA)(sec2A+2tanA)。

sin21cos2111证明：（1）原式左边=(sinθ-)(cosθ-)== sincossincoscos2sin=sinθcosθ，

sincos原式右边=1sincoscossin=1sincossincos22=sinθcosθ，

5 – 3 - 4 200902

第05章

三角比

第02节

三角恒等式

所以(sinθ-cscθ)(cosθ-secθ)=1。

tancot（2）（法一）左边=(1+tan2A)2-4tan2A=(1+tan2A-2tanA)(1+tan2A+2tanA) =(sec2A-2tanA)(sec2A+2tanA)=右边。

（法二）右边=(1+tan2A-2tanA)(1+tan2A+2tanA) =(1-tanA)2(1+tanA)2=(1-tan2A)2=右边。▋

例 7

已知sinα+cosα=（1）sinαcosα；

（4）secα+cscα；

2，求下列各式的值。

2（2）sinα-cosα；

（3）tanα+cotα；

（5）sin3α+cos3α；

（6）sin4α+cos4α。

111，即1+2sinαcosα=，可得sinαcosα=。

22463，∴sinα-cosα=。

22解：（1）(sinα+cosα)2=（2）∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=（3）tanα+cotα=（4）secα+cscα=1=-4。

sincoscossin=22。

sincos52。

8（5）sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α+cos2α-sinαcosα)=（6）sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=练

6

已知sinα=2cosα，求7。▋

8sin4cos及sin2α+2sinα·cosα的值。

5sin2cos解：∵sinα=2cosα，∴tanα=2，

∴sin4costan421，

5sin2cos5tan21262sin22sincostan22tan426∴sinα+2sinα·cosα=。▋

sin2cos2tan21415练

7

（1）已知：sinα+sin2α=1，求证：cos2α+cos4α=1。

（2）若tan2α=2tan2β+1，求证：sin2β=2sin2α-1 证明：∵tan2α+1=2(tan2β+1)，∴sec2α=2sec2β，∴cos2β=2cos2α，

∴1-sin2β=2(1-sin2α)，∴sin2β=2sin2α-1。▋

5 – 3 - 5 200902

第05章

三角比

第02节

三角恒等式

3、

诱导公式

给出了角α，我们可以联想到与角有特殊关联的角，如2kπ±α、π±α、-α、2±α等。这些角的终边与角α的终边具有旋转、对称关系。这些关系能否转化为三角比之间的关系？如何（建立）转化？

根据前面我们所规定的负角的意义，角α的终边和角-α的终边关于x轴对称，因此，如果在角α的终边上取一点P(u，v)，则P(u，v)关于x轴对称点P'(u，-v)在-α的终边上。

根据三角比的定义，得到第二组诱导公式（the second group of induction formulas）：

sin(α)=sinα，cos(α)=cosα，tan(α)=tanα，cot(α)=cotα。

★这一组诱导公式可以将负角的三角比转化为正角的三角比。

◆我们需要研究的角的范围是否可以再次缩小了？（缩小至[0，π]。）

例 8

（课本P46例4）

求的正弦、余弦、正切和余切的值。

331)=-sin=；cos()=cos=；

233332解：sin(tan(3)=-tan=3；cot()=-cot=。▋

33333问：能否将0~2π间的三角比转化为0~若α∈(0，2的三角比？

)，则~2π间的角可用右面的形式表示。

22π-α

α

以下我们研究π±α，2π-α的三角比与α的三角比之间的关系：

角α的终边绕原点逆时针旋转π弧度，得到角π+α终边，也就是说这两个角的终边与关于原点对称。

由三角比的定义得第三组诱导公式（the third group of induction formulas）：

sin(π+α)=sinα，cos(π+α)=cosα，tan(π+α)=tanα，cot(π+α)=cotα。

由第三组诱导公式及第二组诱导公式可推得第四组诱导公式（the fourth group of induction formulas）：

sin(πα)=sin[π+(α)]=sin(α)=sinα，

cos(πα)=cos[π+(α)]=cos(α)=cosα，

同理可得：

π+α

2π-α

5 – 3 - 6 200902

第05章

三角比

第02节

三角恒等式

tan(πα)=tanα，

cot(πα)=cotα。

◆现在我们只需要什么范围内的角？

下面把五组公式列表如下：（第一组公式中的k∈Z）

第一组

第二组

第三组

第四组

sin(2kπ+α)=sinα

sin(α)=sinα

sin(π+α)=sinα

sin(πα)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα

cos(α)=cosα

cos(π+α)=cosα

cos(πα)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα

tan(α)=tanα

tan(π+α)=tanα

tan(πα)=tanα

cot(2kπ+α)=cotα

cot(α)=cotα

cot(π+α)=cotα

cot(πα)=cotα

例 9

（课本P47例5）

利用诱导公式，求下列各三角比：

（1）sin2613；（2）tan()。

3422326)sinsin()sin=sin(8。

333323解：（1）sin（2）tan(1333)=tan(4)tantan()tan1。▋

44444★变形的顺序：任意角→[0，2π]→[0，练

8

（课本P49练习5.3（2）/1）

]→解决。

2练

9

把下列三角比化成同名锐角三角比来表示。

（1）sin(-905°)； （3）tan(-（2）sin(-285°20')；

（4）cot79)；

61000；

7解：（1）原式=sin5°；

（2）原式=sin74°40'；

（3）原式=-tan

4、

诱导公式的应用

例 10

（课本P47例6）

化简：cos(2)cot()tan()。

sin()cot(3)coscot(tan)cossin=1。▋

sin(cot)sincos6；

（4）原式=cot7。▋

解：原式=★化简基本原则：同角。

练

10

（课本P49练习5.3（2）/2）

5 – 3 - 7 200902

第05章

三角比

第02节

三角恒等式

练

11

化简：（1）sin(3)sin(2)cos(4)tan()cos(5)tan()；

（2）tan(150)cos(210)cos660cot(240)sin(330)。

解：（1）原式=-3；

（2）原式=32。▋

练

12

化简：cos(4n14)+cos(4n14)（n∈Z）。

解：当n为偶数时，设n=2k，则原式=2cos(4+α)；

当n为奇数时，设n=2k+1，则原式=-2cos(4+α)。

2cos(n2k，kZ综上，原式=4)。▋

2cos(4)n2k1，kZ例 11

（课本P47例6）

根据已知条件，求角x：

（1）已知sinx12，x∈[0，2π)；

（2）已知tanx33，x∈[-π，π)。

解：（1）由三角函数线可知，这样的角有2个。

因为sin162，sin56sin(6)sin612，∴x=6或56。

（2）由三角函数线可知，这样的角有2个。

tan33，tan(5366)tan(56)tan63，∴x=6或6。▋

练

13

（课本P49练习5.3（2）/3）

课后作业与思考：

作业1

练习册P17习题5.3A、B；

作业2

结合在各个象限内三角比的符号记忆四组诱导公式。

5 – 3 - 8 200902

第05章

三角比

第02节

三角恒等式

备用例题与练习

练

14

已知tanθ=-3，求下列各式的值。

（1）3sinθ+cosθ；（2）cossin；（3）sin2θ-2sinθcosθ+1。

cossin110解：（1）因为tanθ=-3，所以cosθ=，

所以3sinθ+cosθ=cosθ(3tanθ+1)=（2）410。

5cossin1tan1=。

cossin1tan22（3）sinθ-2sinθcosθ+1=练

15

已知sinsin22sincossin2cos25tan22tan1=1=。▋

221tanm342m，cos，α是第四象限角，求tanα的值。

m5m542m2m32)()1

m5m5解：∵sin2α+cos2α=1∴(化简，整理得：m(m-8)=0，∴m1=1，m2=8，

当m=0时，sin43，cos，（与α是第四象限角不符，舍去）

5512125，cos，∴tan。▋

13513当m=8时，sin练

16

化简后计算下列三角比（精确到0.0001）：

（1）sin147°；（2）cos560°；（3）tan(-285°20')；（4）cot100。

7解：（1）因为147°的角是第二象限角，∴147°=180°-33°，

于是sin147°=sin(180°-33°)=sin33°≈0.5446。

（2）因为560°=360°+200°，

而200°的角是第三象限的角，∴200°=180°+20°，

于是cos560°=cos(360°+200°)=cos200°=cos(180°+20°)=-cos20°≈-0.9397。

（3）因为285°20'的角是第四象限的角，

∴tan(-285°20')=-tan285°20'=-tan(360°-74°40')=-tan(-74°40')=tan74°40'≈3.647。

也可以这样解：tan(-285°20')=tan(-285°20'+360°)=tan74°40'≈3.647。

（4）因为∴cot1002=7×2π+，

7710022=cot(7×2π+)=cot≈0.7974。▋

7775 – 3 - 9 200902

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三角比

第02节

三角恒等式

不准备用的

练

17

已知tan15，求α的其他三角比。

8练

18

证明：sin6α+cos6α=1-3cos2α·sin2α。

练

19

证明：练

20

已知cotcsc11cos。

cotcsc1sin35，化简：

44sin(3)(sincos)4

sin()4[sin()cos()]解：原式=-(sinθ+cosθ)。▋

练

21

下列命题中错误的是：

（1）2kπ（2）7=2kπ+（k∈Z）；

447；

44（3）{α∣α=2kπ-7，k∈Z}={β∣β=2kπ+，k∈Z}；

447（4）sin(2k)sin(2k)（k∈Z）。

44答：（1）、（2）。▋

练

22

化简：

（1）1sin2440；

（2）sincos；

seccsc（3）sin2α+cot2α·sin2α+cos2α+cot2α·cosα；

（4）sec2A1tanA。

练

23

已知sinα+cosα=1，且0<α<π，求sinα，cosα。

52（0<α<π），求sin(π+α)+cos(2π-α)的值

42、已知sin(π-α)-cos(π+α)=解：∵sin(π-α)-cos(π+α)=22即：sinα+cosα=

445 – 3 - 10 200902

第05章

三角比

第02节

三角恒等式

又∵0<23<1，0<α<π，∴，∴sinα>0，cosα<0。

424令a=sin(π+α)+cos(2π-α)=-sinα+cosα则a<0 由①得：2sinαcosα=7，

830

4∴a12sincos3、已知2sin(π-α)-cos(π+α)=1(0<α<π)，求cos(2π-α)+sin(π+α)值。

解：将已知条件化简得：2sinα+cosα=1①

设cos(2π-α)+sin(π+α)=a，则a=cosα-sinα②

11①②联立得：sin(1a),cos(12a)

3311∵sin2α+cos2α=1∴(12aa2)(14a4a2)1

99∴5a2+2a-7=0，

解之得：a1=7，a2=1（(舍去，否则sinα=0，与0<α<π不符）

5∴cos(2π-α)+sin(π+α)=7。▋

51例

1

已知：sinβ=，sin(α+β)=1，求sin(2α+β)。

3解：∵sin(α+β)=1，∴α+β=2kπ+∴sin(2α+β)=sin[2(2kπ+（k∈Z）

2)-β] 21=sin(4kπ+π-β)=sinβ=。▋

3

练

1

（课本P 48 / 练习（4））

5 – 3 - 11 200902