阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系教案教学设计导入设计

22.3

实际问题与二次函数(第2课时) 一、内容及其解析

1．内容

利用二次函数知识解决生活中实际问题．

2．内容解析

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，例如生活中涉及的求最大利润，最大面积等实际问题都与二次函数的最大(小)值有关．

本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最大(小)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．

通过探究利润与售价两个变量之间的关系，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最大(小)值解决实际问题．

二、目标及其解析

1．目标

能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最大（小）值等实际问题．

2．目标解析

达成目标的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，将二次函数的最大（小）值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．

三、教学问题诊断分析

学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程解应用题，具备了一定的建模能力，这为本节课的学习奠定了基础，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说要完成这一建模过程难度较大．

基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题转化成二次函数问题．

四、教学过程设计

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1．复习二次函数解决实际问题的方法

问题1

解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？所用知识在解决生活中的问题时，还应注意哪些问题？

师生活动：学生思考后回答，师生共同归纳：

(1)由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是最低(高)点，可得当x＝－b时，二次函2a4ac-b2数y＝ax＋bx＋c有最小(大)值；

4a2(2)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

(3)在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值．

设计意图：培养学生归纳概括能力，并利用所学知识构建数学模型的能力．

2．探究二次函数利润问题

问题2

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

师生活动：学生独立思考，理解题意后教师提问：

(1)

题目中有几种调整价格的方法？

(两种，涨价和降价．) (2)题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？哪个量是函数？(变量是价格、卖出数量、利润；自变量是价格；卖出数量与利润会随之变化；利润．) (3)当涨1元时，售价是多少？销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？

(61元，290件，11 600元，17 690元，6 090元．) (4)最多能涨多少钱呢？

(300÷10＝30元．) (5)当涨x元时，售价是多少？销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？

(60＋x元，300－10x件，40(300－10x)，(60＋x)(300－10x)元，(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)元．

学生将利润的式子化简后，得利润y＝－10x2＋100x＋6 000．

(6)这是一个什么函数？自变量取值范围是什么？这个函数有最大值吗？

(二次函数，0≤x≤30，因为a＝－10＜0，所以有最大值．) 学生独立完成求函数最大值的过程．

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得出结论：当x＝5时，y最大，最大值是6 250．也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价为65元时，利润最大，最大利润是6 250元．

设计意图：通过一系列问题，让学生明确实际问题的分析方法，从特殊到一般，最后利用学生已掌握的函数最值知识解决，从未知转化为已知．

问题3

x＝5是在自变量取值范围内吗？为什么？如果计算出的x不在自变量取值范围内，怎么办？

师生活动：通过问题引导学生利用二次函数的极值、图象等的知识来解决问题，强调在自变量取值范围内取最值，如顶点不在这个范围，根据函数的增减性来判断，而且实际问题的图象不是整个的抛物线，而是局部，这取决于自变量取值范围．可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值．

问题4

在降价情况下，最大利润是多少？请你参考上述的讨论自己得出答案．

师生活动：学生独立思考并小组讨论，得出降价销售时的最大利润，降价2.5元时利润最大，为6 125元．

完成后教师提问：

(1)x＝2.5是在自变量取值范围内吗？

(在，自变量取值范围是0≤x≤20．) (2)由上面的讨论及现在的销售情况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？

(因为6 250＞6 125，所以涨价5元时利润最高．) 设计意图：通过让学生独立完成，提升学生解决实际问题的能力和应用函数知识解决实际问题的意识．

3．小结

教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

(1)这节课学习了用什么知识解决哪类问题？

(2)解决实际问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？

(3)学到了哪些思考问题的方法？

设计意图：培养学生及时总结归纳的能力，加深对二次函数的认识，为熟练地应用知识解决问题提供方法．

4．布置作业

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教科书习题22.3第2，8题．

五、目标检测设计

1．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

设计意图：考查学生本节课所学的内容的理解和掌握的程度．

2．旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚每次收费提高2元时，则减小10张床位租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高_________元．

设计意图：考查学生本节课所学的内容的理解和掌握的程度．

3．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．

(1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围). (2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，求出S的最大值,并确定当单价在什么范围内变化时，利润随单价的增大而增大？

(3)若超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少元？

设计意图：考查学生本节课所学的内容的理解和掌握的程度．

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