习题4.1优质课教学设计

数形结合百般好

方程轨迹亦舞蹈

高中数学（人教A版必修二4.1）习题研讨课

教案

四川省犍为第一中学

黄良银

教学目的:本节主要由学生通过研讨，完成课本重点习题的计算，求出对应的圆的方程，教师用几何画板的演示所求方程的曲线，让学生进一步理解和掌握曲线方程求解的重要方法，加深对圆的方程的求解，理解方程和曲线间的关系，让学生更好地理解数形间的关系。

教学重点：利用直接法，定义法，相关点法，消参法等方法求解（证明）圆的方程。提高学生对所学知识进行类比和绰的能力。

教学难点：初高中知识的衔接；消参法的重要思想，对参数的分类讨论。

教学过程：

课堂引入：能过华罗庚的诗句：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事非。”引入课题，让学生注意将方程和曲线联系在一起。

习题探究

A组第5题.已知圆的一条直径的端点分别是A(x1,y1)和B(x2,y2),求证此圆的方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

提问：请全班学生共同回答自己能想到证明方法。进一步引导学生回答出这些解法是怎么样想到的，主要用了哪些知识点，最后再引导学生思考，还能想到些什么方法。如果学生考虑不完整，教师从初中知识开始进行复习，引导学生作答。当学生想到方法之后，以三名同学为一组，通过独立完成和合作完成，最终用多种方法解决些题。当学生完成得差不多后，教师给出常见的四种解法，进一步引导学生比较这些方法的优点和不足，有无注意事项。

思路一：

利用圆心和半径

(x1x2)2(y1y2)2x1x2y1y2|AB|解：圆心为（,),半径为=2222(x1x2)2(y1y2)22x1x22y1y22(x)(y)()222x1x22y1y22(x1x2)2(y1y2)2(x)(y)224x2(x1x2)xx1x2y2(y1y2)xy1y20圆的方程为：(xx1)(xx2)(yy1)(yx2)0思路二：利用直径所对圆心角为直角；

方法一：勾股定理；

解：MAMBAB(xx1)2(yy1)2+(xx2)2(yy1)2

(x1x2)2(y1y2)2x22x1xx22x2x2x1x2y22y1y22y22y1y20x2(x1x2)xx1x2y2(y1y2)yy1y20(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0方法二：向量内积；

222解：MAMB=0（x1-x，y1-y)（x2-x，y2-y）=0

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0方法三：斜率之积.

解：当MA，MB斜率存在时，有kMAKMB1y-y1y-y2=（1xx1,xx2）x-x1x-x2

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0，（xx1,xx2）又A（x1，y1）,B(x2，y2）满足上式，所以以AB为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0补充练习：已知圆的一条直径的端点分别是A(2,4)和B(8,12), 则此圆的方程是______________________. 问题深入：如果将上题中的“圆的一条直径”改为“直角三角形的斜边”，此题有什么不同？

B组第2题.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

引导学生观察，当AB不同在x轴，不在y轴时时，可以得到直角三角形AOB，学生可以很自然的想到直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。进而用定义法完成此题的求解。

解法一：定义法

AB2a=a,22点M的轨迹是以O为圆心，OMa为半径的圆，

解：OM点M的轨迹方程为x2y2a2.当学生求出圆的方程后，进一步给学生强调，利用定义法求曲线方法应当描述清楚三个要素“位置，大小，形状”，比方说如何描述准确描述一条直线的位置。

因为学生对曲线方法还比较陌生，教师再次讲解，求曲线方程（普通）方程的实质，就是求出动点的横坐标和纵坐标满足的等式。引导学生如何设点，列方程，消参化解，即利秀消参法求解出圆的方程。

解法二：消参法

解：设Am,0,B0,n,Mx,y,则xmn,ym2x,n2y2222222222

AB2a，m00n2a2x2y2a即x2y2a2为加深学生对消参法的理解，教师给出练习题：长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的三等分点M（|AM|=2|MB|)的轨迹方程.

让学生思考：如何设坐标，如何得等式，如何消参，求解过程课下完成。解（消参法）：设Am,0,B0,n,Mx,y,｜AM|2|MB|AM2MBAM(xm,y0),MB(0x,ny)(xm,y0)2(0x,ny)xm2x,y2n2y3ym3x,n2AB2a，m00n2a9y23y3x2a9x24a24236x29y216a222222222

所以点M的轨迹方程为：36x29y216a2教师展示动画，让学生说出它是什么曲线，教师引导学生注意轨迹方程和轨迹的不同。

B组第3题

已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为1/2，求点M的轨迹方程.

此题主要考察是利用直接法求轨迹方程。学生对解法比较熟悉，学生独立完成后，教师再引导归纳直接法求轨迹方程的主要步骤。

解（直接法）：设M的坐标为x,y,根据题设条件有｜MO｜1MM=｜MA|=2|MO|｜2｜MA因为O0,0,A3,0,所以有x3y24(x2y2)化简得x2y22x30,即x1y24.所以点M的轨迹方程是x1y24.最后，通过对此题进行变形，得出以下问题：

思考1.已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为1，求点M的轨迹方程.

222

解：|OM||MA|M的轨迹是OA线段的中垂线

3M的轨迹方程是x.2

思考2.已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为2，求点M的轨迹方程.

解（直接法）：设M的坐标为x,y,根据题设条件有|MO|MM2|MA|O0,0,A3,0,|MO|2|MA|x2y24(x3y2)化简得x2y28x120,即x4y24.所以点M的轨迹方程为x4y24.当学生完成求解后让学生再些比较它与书本练习的异同点。同时教师结合几何画板给出的动画，引导学生思考，如果距离之比改为其它参数k，点M的轨迹会发生什么改变。

课堂小结：

求曲线方程的常用方法步骤以及注意事项；轨迹方程和轨迹的区别与联系；学习解析几何要将方程和曲线进行有机统一。

巩固练习：

练习1：已知圆O:x2+y2=1, C(4,0),点A是圆O上的一个动点，

三角形AOC的角AOC的平分线与AC边交于M，求M的轨迹方程。

222

｜CM｜｜OC｜解:OM是AOC的平分线，==4｜MA｜｜OA｜CM=4MA，CM=(x-4,y),MA=(x0-x,y0-y),(x-4,y)=4(x0-x,y0-y),x-4=4x04x,y=4y04y4x05x4,4y05y(5x44)2(54y)21(5x4)2(5y)216442(x5)y2()25让学生思考上述求解中存在

的问题，让学生进一步理解，出现具体的几何图形时，可能某些曲线上的某些点不满足条件，要注意去除。

练习2.已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为k(k>0)，讨论点M的轨迹.

解：设M的坐标为x,y,根据题设条件有|MO|MMk|MA|O0,0,A3,0,|MO|k|MA|x2y2k2(x3y2)x2y2k2x26k2x9k2k2y2(k21)x2(k21)y26k2x9k203(1)当k=1时6x90x.23此时的轨迹是OA的垂直平分线x.26k2x9k2(2)当k0且k1时xy2-2k1k123k22-9k（k21）3k222（x2）y+（2）2k1（k21）k13k22-9k49k2+9k49k22（x2）y222k1（k21）（k1）

23k23k（x2）y2(2)2k1k13k2此时的轨迹是圆心为（2，0），k13k半径为2的圆.k1222

此题的让学生学会利用求参数分类讨论k变化时曲线方程的变化，同时教师用几何画板演示

参数变化时曲线的变化，进一步引导学生注意数和形的统一。

练习3.已知点M与定点O(0,0),定直线l:x=3的距离的比为1/2，求点M的轨迹方程.

x2y21解：设M(x,y)，则,|x3|22x2y2=|x3|4(x2y2)x32

3x24y26x90此题只是把教材上的条件“定点A(3,0)”改为“定直线l:x=3”，学生能比较容易求解。目的是让学生学会举一反三，同时为以后学生的椭圆奠定一些基础。

练习4. 已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的斜率之积为1/2，求点M的轨迹方程. 解：设Mx,y,kOMkAM12

yy1（x0且x3)xx-32

2y2x23x即x22y23x（0x0且x3)此题将教材中的“距离之比”改为“斜率之积”，学生也能比较容易求出轨迹方程。但此题有个易错点：求斜率时分母不能为0，所以得出来的曲线应当舍掉部分点。目的是提高学生思维的缜密性。