2.1.4 平面与平面之间的位置关系优质课一等奖教案

第1课时 §2.1.1 平面

一、教学目标：

（一）知识目标：1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”

2.理解平面的无限延展性

3.理解公理1、2、3 (二) 能力目标：1.正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系

2初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化

3.初步应用公理1、2、3解决简单的点、线共线共面问题

（三）情感目标：1.提高空间想像能力

2．通过图形、符号、语言的转换体会数学的美，激发学习兴趣

二、教学重点、难点

（一）重点:平面基本性质的三个公理

（二）难点:1.三种语言的转化

2.三个公理的简单应用

三、教

具：多媒体、实物投影仪

四、教学过程

（一）课题导入

在初中，我们主要学***面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形这节课我们就来认识够构成这些空间图形的基本元素及它们之间的关系和简单性质

（二）新知探研

1．平面的两个特征：①无限延展

②平的（没有厚度）

平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分

2.平面的画法及其表示方法：

①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画

②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面，平面AC等

③两个相交平面：

画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）

α

β

B

BβBβ

aαα

aAαβAA

图 2

4空间图形是由点、线、面组成的

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空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示

点、线、面的基本位置关系如下表所示：

集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言a（平面外的直线a）表示a（平面外的直线a）表示a或aA

5 平面的基本性质

立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．

公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此这个平面内

推理模式：AAB． 如图示：

BAB或者：∵A,B，∴AB

应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．

①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：aA．

Aa公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直共7页

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线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．

公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

A,B,C

不共线推理模式：A,B,C与重合

A,B,C或者：∵A,B,C不共线，∴存在唯一的平面，使得A,B,C. 应用：①确定平面；②证明两个平面重合

“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．

实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚

公理2及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有这些公共点的集合是一条过该点的公共直线

推理模式：AAlA

如图示： 或者：∵A,A，∴l,Al

应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上

公理3揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．

6 典例及练习

例题

课本P47例1 练习课本P48练习

（三）课堂总结

1、点、线、面的位置关系

2、平面的基本性质（公理1、2、3）及作用

（四）课外练习及作业

课本P56习题2、1A组1、2

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第二课时

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

一、教学目标：

1、知能目标

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

（3）理解并掌握公理4；

（4）理解并掌握等角定理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2、情感目标

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点

重点：1、异面直线的概念；

2、公理4及等角定理。

难点：异面直线所成角的计算。

三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：多媒体、长方体模型、三角板

四、教学过程

（一）课题导入

1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）

（二）讲授新课

1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：

2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？

组织学生思考：

长方体ABCD-A'B'C'D'中，

BB'∥AA'，DD'∥AA'，

BB'与DD'平行吗？

生：平行

再联系其他相应实例归纳出公理4 共7页

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公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b =>a∥c

c∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

（2）例2（多媒体）

例2的讲解让学生掌握了公理4的运用

（3）教材P50探究

让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。

3、组织学生思考教材P51思考

让学生观察、思考：

∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

0生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 180

教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。

4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。

（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

（2）强调：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②

两条异面直线所成的角θ∈0，

③

当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④

两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤

计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

（3）例3 例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。

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2

（三）课堂练习

教材P53 练习1、2 充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。

（四）课堂小结

在师生互动中让学生了解：

（1）本节课学习了哪些知识内容？

（2）计算异面直线所成的角应注意什么？

（五）课后作业

1、判断题：

（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ）

（1）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ）

2、填空题：

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。

3、P56习题2.1A组6

第三课时§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、

平面与平面之间的位置关系

一、教学目标：

1、知能目标

（1）了解空间中直线与平面的位置关系；

（2）了解空间中平面与平面的位置关系；

（3）培养学生的空间想象能力。

二、教学重点、难点

重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。

难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：多媒体、长方体模型

四、教学思想

（一）课题导入

教师以生活中的实例以及课本P53的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）

（二）研探新知

1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内

——

有无数个公共点

（2）直线与平面相交

——

有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行

——

没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

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a α a∩α=A a∥α

例4（多媒体展示）

师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。

2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：

（1）两个平面平行

——

没有公共点

（2）两个平面相交

——

有且只有一条公共直线

用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为

α

L

α

β

β

α∥β α∩β= L

教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。

教材P55 让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解

教材P55习

学生独立完成后教师检查、指导

（三）归纳整理、整体认识

教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。

（四）作业

1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。

2、教材P56习题2.1 A组第4题

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