2.1.4 平面与平面之间的位置关系特级教师教学实录

2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）了解空间中平面与平面的位置关系；

（2）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法

（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；

（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。

二、教学重点、难点

重点：空间中平面与平面之间的位置关系。

难点：用图形表达平面与平面的位置关系。

三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型

三．教学过程

（一）

复习引入

1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.直线与平面的位置关系：

①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. （二）

导入新课

1.情境导入

拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

2.事例导入

观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

图1 3.推进新课

4.新知探究

5.提出问题

①什么叫做两个平面平行？

②两个平面平行的画法. ③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交? ⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系. 活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义. 问题②怎样体现两个平面平行的特点. 问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交. 问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练. 讨论结果：

①两个平面平行——没有公共点. ②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.

图2 图3 ③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l. ④两个平面相交——有一条公共直线. ⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β. 如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图4.

图4 （三）应用示例

例1 给出的下列几个命题中，正确命题的个数是(

) ①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；

③若两个不重合平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交．

A．0

C．2

B．1 D．3

分析：

如图，平面α内有无数条直线与β平行，但α与β相交．故①②均错．

不重合的两个平面，若它们有公共点，则它们有无数个公共点，都在它们的交线上，故③正

确．

【答案】

B 方法归纳：平面与平面的位置关系的判断方法

(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．

(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

[注意]

判断面面的位置关系，要牢牢抓住其特征和定义，要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．

练习：

1.下列说法中正确的个数是(

) ①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；

②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；

④如果α∥β，a∥α，那么a∥β. A．0个

C．2个

B．1个

D．3个

分析：选A.①中，交线也可能是1条；②a也可能在过b的平面内；③中a不平行于平面α，则a可能在平面α内，平面α内有与a平行的直线；④中，a可能在β内．故四个命题都是错误的，选A. 2.正方体的六个面中互相平行的平面有(

) A．2对

C．4对

B．3对

D．5对

解析：选B.作出正方体观察可知，有3对互相平行的平面．

3.若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b是异面直线，则α，β的位置关系是__________．

解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面BCC1B1，AB，B1C1是异面直线，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面BCC1B1相交．

答案：平行或相交

4.经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作(

) A．0个

C．0个或1个

B．1个

D．1个或2个

解析：选C．若两点所在的直线与平面平行，则可以作1个，否则，为0个．

5.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有(

) A．3个

C．6个

B．4个

D．7个

解析：选D．把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：

图(1) 第一类：如图(1)所示，四个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中α共有4个．

第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共3个．

综上，α共有4＋3＝7(个)，故选D．

图(2)

例2：作图．

(1)在图中画出两个平行平面．

(2)在图中画出两个相交平面．

(3)在图中画出一个平面与两个平行平面相交．

(4)在图中画出三个两两相交的平面．

解：

练习：

1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．

解：如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF．

因为E是AA1的中点，所以EF∥A1B．

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，

所以四边形A1BCD1是平行四边形．

所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1．

所以E，F，C，D1四点共面．

因为E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF．

所以过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF．

2.画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.

解：如图11,分别连接并延长线段EF、BD，

图11 ∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P. ∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线. 小结：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点.

例3.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．

解：a∥b，a∥β．证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，

因为α∥β，a⊂α，b⊂β，所以a、b无公共点．

又因为a⊂γ且b⊂γ，所以a∥b．

因为α∥β，所以α与β无公共点．

又a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β．

（四）课堂小结

本节主要学***面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：

①两个平面平行——没有公共点；

②两个平面相交——有一条公共直线. 另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. （五）作业

课本习题2.1 B组1、2、3. （六）设计感想

本节内容较少，与上一节课一样,教材没有讨论面面平行的判定和性质，只介绍了平面与平面的位置关系.平面与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力.