复习参考题优质课一等奖

阶段复习课

第二课

直线与圆

[核心速填] 一、两直线的位置关系

1．求直线斜率的基本方法

(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tan_α. y2－y1(2)公式法：已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k＝. x2－x12．判断两直线平行的方法

(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2. (2)若不重合的直线l1与l2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l1∥l2. 3．判断两直线垂直的方法

(1)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2. (2)已知直线l1与l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1⊥l2. 二、直线方程

1．直线方程的五种形式

名称

一般点斜式

情况

斜截式

两点式

一般情y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距

y－y0＝k(x－x0)

(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率

直线不垂直于x轴

方程

常数的几何意义

适用条件

直线不垂直于x轴

(x1，y1)，(x2，y2)是直线直线不垂直于x轴和y上的两个定点

轴

1/13

况

截距式

一般式

Ax＋By＋C＝0

A，B不同时为0

xya＋b＝1

a，b分别是直线在x轴，直线不垂直于x轴和yy轴上的两个非零截距

轴，且不过原点

A，B，C为系数

任何情况

2.常见的直线系方程

(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2. (2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．

(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0. 三、圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．

(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：

①求两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C2；

②过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ为参数，λ∈R)．

四、直线与圆的位置关系

1．直线与圆位置关系的判断方法

(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d＜r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d＞r，则直线和圆相离．

(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ，Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ＞0⇔直线与圆相交；Δ＜0⇔直2/13

线与圆相离．

2．过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程的求法

①当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k；

②当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k. 当切线斜率不存在时，可通过数列结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．

3．圆中弦长的求法

(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解．

(2)利用圆的弦长公式l＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2(其中x1，x2为两交点的横坐标)．

l(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半2为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l＝2r2－d2. 4．圆与圆的位置关系：

(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．

(2)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交．

则两圆方程相减后得到的新方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．

[体系构建] 3/13

4/13

[题型探究]

两直线的位置关系

已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

(1)l1⊥l2且l1过点(－3,－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

【导学号：07742332】

[解]

(1)∵l1⊥l2，

∴a(a－1)－b＝0，①

又l1过点(－3，－1)，

∴－3a＋b＋4＝0.②

a＝2，解①②组成的方程组得

b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，

∴直线l1的斜率存在．

a∴k1＝k2，即b＝1－a.③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，

∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，

4即b＝－(－b)．④

2a＝，a＝2，由③④联立，解得或3b＝－2b＝2.

2a＝，a＝2，经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为或3b＝－2b＝2.

[规律方法]

已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝(1)对于l1∥l2的问题，先由A1B2－A2B1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l1和l2是否重合，若重合，舍去. 5/13

(2)对于l1⊥l2的问题，由A1A2＋B1B2＝0解出字母的值即可. 提醒：利用斜率的两点式时，注意斜率不存在的情况. [跟踪训练] 1．已知A(1,2)，B(－1,0)，C(2,－1)，若平面ABC内一点D满足CD⊥AB，且CB∥AD，则点D的坐标为(

) A．(－2,－3)

C．(2,3) B．(2,－3) D．(－2,3) D

[设D(x，y)，由CD⊥AB，且CB∥AD，知kCD·kAB＝－1，kCB＝kAD，则y＋10－2＝－1，x－2·－1－1－1－0y－22＋1＝x－1，

x＝－2，解得即D(－2,3)，故选D.] y＝3，2．已知直线l1经过点A(3,a)，B(a－2,3)，直线l2经过点A(3,a)，C(6,5)，且l1⊥l2，求实数a的值. 【导学号：07742333】

[解]

①当直线l1的斜率不存在时，a－2＝3，解得a＝5. 此时A(3,5)，C(6,5)，直线l2的斜率为0，满足l1⊥l2. ②当直线l1的斜率存在时，

3－a3－a直线l1的斜率k1＝＝，

a－2－3a－5a－55－a直线l2的斜率k2＝＝3，

3－63－a5－a∵l1⊥l2，∴k1·k2＝·＝－1，∴a＝0. a－53综上，实数a的值为0或5.

直线方程

过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程. 【导学号：07742334】

[解]

当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，6/13

它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；

当直线的斜率存在时，设其斜率为k，

则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2. 2令y＝0，分别得x＝－1，x＝－k. 2－1＋由题意得＝1，即k＝1. k则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，

即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. [规律方法]

求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程.

[跟踪训练] 453．求与直线y＝x＋垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的33直线l的方程．

453[解]

由直线l与直线y＝3x＋3垂直，可设直线方程为y＝－4x＋b，

则直线l与x轴，y轴上的截距分别为

4x0＝3b，y0＝b. 又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24，

1所以S＝2|x0||y0|＝24，

14即23b|b|＝24，b2＝36. 解得b＝6或b＝－6. 33故所求直线的方程为y＝－4x＋6或y＝－4x－6，

即3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0.

7/13

直线对称问题的求法

已知直线l：y＝3x＋3，试求：

(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；

(2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程．

【导学号：07742335】

[解]

(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l. y′＋5x′＋4＝3·22＋3，即y′－53＝－1，x′－4·x′＝－2，解得

y′＝7.∴P′点的坐标为(－2,7)．

(2)设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立．

x1＋x32＝3，∴y1＋y32＝2，

x1＝6－x3，解得

y1＝4－y3，

代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0. 即l3的方程为3x－y－17＝0. [规律方法]

1．中心对称

(1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，即P为线段P1P2的中点．

(2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1∥l2，且P到l1、l2的距离相等．

2．轴对称

两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且8/13

P1P2的中点在l上．

[跟踪训练] 4．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；

(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．

[解]

(1)如图，B关于l的对称点B′(3,3)．

直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，

2x＋y－9＝0，由

3x－y－1＝0，x＝2，解得即P(2,5)．

y＝5，324(2)如图，C关于l的对称点C′5，5，

由图象可知：|PA|＋|PC|≥|AC′|. 1126当P是AC′与l的交点P7，7时“＝”成立，

1126∴P7，7. 

圆的方程

根据条件求下列圆的方程：

(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；

(2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程. 【导学号：07742336】

[解]

(1)由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，

3x＋2y－15＝0，∴由

3x＋10y＋9＝0，x＝7，解得

y＝－3.∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝65. 9/13

∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65. (2)法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则圆心为(a，b)，半径r＝10，

圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝|a－b|，

2由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得：

42＝r2，

d2＋2a－b2即2＋8＝10，

∴(a－b)2＝4，

又∵b＝2a，

∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，

故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，

∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，

∴b＝2a. 由圆被直线x－y＝0截得的弦长为42. 将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，

得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 设直线y＝x交圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝x1－x22＋y1－y22

＝2[x1＋x22－4x1x2]＝42，

∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16. a2＋b2－10∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，

2∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，

即a－b＝±2. a＝2，a＝－2，又∵b＝2a，∴或

b＝4b＝－4.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 10/13 2

[规律方法]

求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为

第一步：选择圆的方程的某一形式；

第二步：由题意得a，b，r第三步：解出a，b，r或D，E，F的方程组；

或D，E，F；,第四步：代入圆的方程. 注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等. [跟踪训练] 5．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为22，求圆的方程．

[解]

设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由题意，知直线x＋2y＝0过圆心，

∴a＋2b＝0.①

又点A在圆上，

∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②

∵直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为22，

|a－b＋1|22∴(2)＋22＝r.③

1＋－12a＝6，由①②③可得b＝－3，r2＝52

a＝14，或b＝－7，r2＝244，

故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.

直线与圆的位置关系

已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l过定点A(1,0)．

(1)若l与圆C相切，求l的方程；

(2)若l与圆C相交于P，Q两点，且|PQ|＝22，求此时直线l的方程.

【导学号：07742337】

[解]

(1)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意．

11/13

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. |3k－4－k|3由题意知，圆心(3,4)到直线l的距离等于2，即＝2，解得k＝4，k2＋1此时直线l的方程为3x－4y－3＝0. 综上可得，所求直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0. (2)由直线l与圆C相交可知，直线l的斜率必定存在，且不为0，设直线l的方程为k0x－y－k0＝0，圆心(3,4)到直线l的距离为d，

因为|PQ|＝24－d2＝22，所以d＝2，

即|3k0－4－k0|＝2，

2k0＋1解得k0＝1或k0＝7，

所以所求直线l的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0. [规律方法]

判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系. 提醒：研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k不存在情形，要注意作出图形进行判断. [跟踪训练] 6．如图1所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A交于M，N两点．

图1 (1)求圆A的方程；

(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．

[解]

(1)设圆A的半径为r. ∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，

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∴r＝|－1＋4＋7|＝25. 5∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，易得|MN|＝219，符合题意；

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN. ∵|MN|＝219，

∴|AQ|＝20－19＝1，

∴|k－2|3＝1，得k＝，

24k＋1∴直线l：3x－4y＋6＝0. 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.

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