探究与发现 为什么截口曲线是椭圆公开课教学设计模版

2.2.1椭圆及其标准方程

知识与技能：了解椭圆的实际背景，掌握椭圆的定义及其标准方程。

过程与方法：通过椭圆的概念引入椭圆的标准方程的推导，培养学生的分析探索能力，熟练掌握解决解析问题的方法—坐标法。

情感、态度与价值观：通过对椭圆的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，让学生体会运动变化、对立统一的思想，提高对各种知识的综合运用能力．

重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

难点：椭圆的标准方程的推导．

多媒体课件

(一)椭圆概念的引入

问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？

问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．

对学生提出的轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢

移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……

教学

目标

教学重、

难点

教学

准备

教学

过程

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

1

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=| F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜| F1F2 |，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于| F1F2 |”．

(二)椭圆标准方程的推导

1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)．设| F1F2 |=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

(3)代数方程

(4)化简方程（学生板演，教师点拨）

2．两种标准方程的比较(引导学生归纳) 0)、

F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、

F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．

教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

2

(三)例题讲解

例、平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．

解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=25-16=9．∴b=3 因此，这个椭圆的标准方程是

思考：焦点F1、F2放在y轴上呢？

（四）课堂练习：课本42页

练习

1、2、3、4

(五) 课时小结

1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形

（六）布置作业：习题2.2

A组

1、7

2.2.1椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义

2.椭圆的标准方程

例

（1）焦点在x轴上

（2）焦点在y轴上

板书

设计

3

教学

反思

1.为让学生更深刻地理解椭圆的定义，在给出定义后，让学生分析：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于| F1F2|)的点的轨迹是什么？小于| F1F2|)的点的轨迹是什么？

2.标准方程的推导，在老师的指导下，让学生自己推导，以提高学生的运算能力。

4