4.3.2 空间两点间的距离公式教学内容概述

4.3.2

空间两点间的距离公式

学习目标

1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．

知识点

空间两点间的距离公式

思考

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？

类型一

求空间两点间的距离

例1

如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|，求|MN|的长．

反思与感悟

在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．

跟踪训练1

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．

类型二

求空间点的坐标

例2

已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为_____．

引申探究

1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？

2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？

反思与感悟

(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．

(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．

跟踪训练2

设点P在x轴上，使它到点P1(0，2，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．

类型三

空间两点间距离公式的应用

例3

已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜

2)．

(1)求|MN|的长；

(2)当a为何值时，|MN|的长最小．

反思与感悟

距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．

跟踪训练3

如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．

1．坐标原点到下列各点距离最大的点是(

) A．(1,1,1)

C．(2，－3,5)

B．(1,2,2) D．(3,0,4) 2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是(

) A．－3或4

C．3或－4

B．6或2 D．6或－2 3．已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为(

) A.11

B．211

C．112

D．311 4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为(

)

A.2a

C．a

B.2a

21D.a

25．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．

1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．

2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．

课时作业

一、选择题

1．点A在z轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则A点的坐标为(

) A．(0,0，－1)

C．(0,0,1)

B．(0,1,1) D．(0,0,13) 2．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点的距离为(

) A．10

B.10

C.38

D．38 3．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是(

) A.636

B.3

C.

D.

22384．已知△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－，2,3)，则它在yOz平面上的射影图形的面积是(

) 3A．4

B．3

C．2

D．1 5．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则(

) A．三点构成等腰三角形

B．三点构成直角三角形

C．三点构成等腰直角三角形

D．三点构不成三角形

6．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为(

) 8819A．19

B．－

C.

D.

77147．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是(

) A.37

B.47

C.33

D.57 二、填空题

8．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则点M的坐标为________．

9．已知正方体的六个面中，不在同一平面的两点的坐标分别为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．

10．以原点为球心，5为半径的球面上的动点P的坐标为P(x，y，z)，则x，y，z满足的关系式为______________．

11.如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点A(＝90°，∠DCB＝30°，则三棱锥D－ABC的体积为__________．

三、解答题

12．在空间直角坐标系Oxyz中，

(1)在z轴上求一点P，使得它到点A(4,5,6)与到点B(－7,3,11)的距离相等；

(2)已知点M到坐标原点的距离等于23，且它的坐标分量相等，求该点的坐标．

31，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC22

13．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P，Q分别是D′B，B′C的中点，求|PQ|.

四、探究与拓展

14．对于任意实数x，y，z，则x2＋y2＋z2＋x＋12＋y－22＋z－12的最小值为________．

15．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)．试问：

(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|? (2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．