习题3.1公开课教案

教学准备 1.

教学目标 知识与技能

(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 理解直线的倾斜角的唯一性. (3) 理解直线的斜率的存在性. (4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

2.

教学重点/难点 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 3.

教学用具 投影仪等. 4.

标签 数学，直线与方程

教学过程 （一）

直线的倾斜角的概念

我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗?如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

(1)它们都经过点P.(2)它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α= 0°. 问:倾斜角α的取值范围是什么?

0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时,α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

如图,直线a∥b∥c,那么它们

的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α. (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时,α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1;

α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

(三)直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示:直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°,直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4)当 y1=y2时,斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

(四)例题: 例1已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB,BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线,图略) 分析:已知两点坐标, 而且x1≠x2,由斜率公式代入即可求得k的值;

而当k= tanα<0时, 倾斜角α是钝角;

而当k= tanα>0时, 倾斜角α是锐角;

而当k= tanα=0时, 倾斜角α是0°. 略解:直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;

直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;

直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角. 例2在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1,-1, 2, 及-3的直线a,b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有

1=(y－0)／(x－0)

所以

x = y

可令x= 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点

M(1,1),可作直线a.

同理,可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)

(五)练习:P86 1. 2. 3. 4.

(六)小结:

(1)直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 直线的斜率公式.

(七)课后作业:P89 习题3.1

1. 3.

课堂小结

(1)直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 直线的斜率公式.

课后习题 课后作业:P89 习题3.1

1. 3.

板书