习题2.1课程导入及其完整教案

2.1.1平面--平面基本性质应用

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）利用生活中的实物对平面进行描述；

（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；

（3）掌握平面的基本性质及作用；

（4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法

（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；

（2）让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值

使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点

重点：1、平面的概念及表示；

2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、教学过程

（一）复习

三个公理的内容及作用

（二）例题讲解

1. 证明多线共面问题

例1

求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．

[探究]

1．平面确定的条件？

2．两平面重合的条件？

[解析]

已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．

求证：直线a，b，c和l共面．

证明：如图所示，因为a∥b，由公理2 可知直线a与b确定一个平面，设为α.因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知l⊂α. 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．

规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其推论．

(2)证明点线共面的常用方法

①纳入平面法：先由公理2或其推论确定一个平面，再由公理1证明有关点线在此平面内．

②辅助平面法：先证明有关的点线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

变式1：过直线l外一点P，引两条直线PA，PB和直线l分别交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l共面．

[证明]

如右图所示，

∵PA∩PB＝P，

∴过PA，PB确定一个平面α. ∴A∈α，B∈α. ∵A∈l，B∈l，

∴l⊂α.

∴PA，PB，l共面

2.

证明多点共线问题

例2

已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．

[探究]

1．P、Q、R三点分别在哪几个平面上？

2.在两个相交平面上的点，有什么特点？

[证明]

方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC．

∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，

同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．

方法二：∵AP∩AR＝A，

∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，

∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR. 又∵Q∈面APR，Q∈α，

∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．

变式2：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1，O，M三点共线．

[分析]

要证若干点共线，只需证这些点同在两个相交平面内即可．

[证明]

由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C．

∵A1C⊂平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C．

又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D．

∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上．

又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C．

又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，

∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．

[点评]

本题先证明C1M是平面A1C与平面BC1D的交线，通过公理3知O∈C1M，从而证明了C1，O，M共线．

3.

证明三线共点问题

例3

已知：如图，空间四边形ABCD中，E，H分别为BC，AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF∶FC＝DG∶GA＝1∶2，求证：直线EF，BD，HG交于一点．

[探究]

先证EF，HG一定相交于一点，再证这一点在直线BD上．

[证明]

连接EH，AC，FG. ∵E，H分别为BC，AB的中点，∴EH綊12AC．

∵DF∶FC＝1∶2，DG∶GA＝1∶2，

∴FG∥AC，FG＝13AC，∴EH∥FG且EH≠FG，

∴E，F，G，H四点共面且EF∥\ GH.∴EF与GH相交．

设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.∵GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD，

∴O∈平面ABD，O∈平面BCD．

∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直线EF，BD，HG交于一点．

规律总结：本题主要考查线线共点的问题．在解决这类问题时，首先证明两条直线相交于一点，再证这一点在另一条直线上．要证这一点在另一条直线上，可证这一点在以这条直线为交线的两个平面上．

变式3：三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行．

求证：a、b、c三条直线必过同一点．

[分析]

证三条直线共点时，应先找出其中两条直线的交点P，而第三条直线是两个平面的交线，P是这两个平面的公共点，据公理3得出P在第三条直线上．

[证明]

∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，

∴a⊂γ，b⊂γ，

∵a、b不平行，∴a、b必相交，设a∩b＝P，

∵P∈a，a⊂β，∴P∈β，同理P∈α，

而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P，

即a、b、c三条直线过同一点．

[规律方法]

证明若干条线共点的基本方法是：

(1)首先证明该点是某两条直线的交点．

(2)再证其余直线也过该点即可．

另外，证点共线问题的基本方法是：

(1)首先找出两个平面的交线，然后证明若干点都是这两个平面的公共点，根据公理3，可推知这些点都在交线上，即若干点共线．

(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另外一些点都在这条直线上．

（三）课堂练习

导学案探究2 探究3

以及针对训练2 3 （四）小结

（1）本节课我们学习了哪些知识内容？

（2）三个公理的内容及作用是什么？

（六）课后作业

《导学案》与《固学案》