2.2.4 平面与平面平行的性质教学内容

2.2.4 平面与平面平行

教材分析

这节课的主要内容是两个平面平行的判定定理、性质定理及其应用，它是继学生学***面的位置关系之后，又一种图形之间的位置关系的研究．判定是由“直线与直线平行”转化为“直线与平面平行”，进而转化为“两平面平行”．两性质则是由“两平面平行”转化为“直线与平面平行”或“直线与直线平行”．由此，突破问题的关键在于抓住“转化”这个中心．这节课的重点是两个平面平行的性质定理和判定定理及两定理的应用，难点是结合问题的特点如何正确而合理地选择方法，准确地使用符号语言进行推理论证．

教学目标

1. 了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，进一步培养学生的空间想象能力和推理能力．

2. 通过实验、探索、发现、证明、应用这一学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，端正他们学习数学的科学态度，培养他们良好的思维习惯，进一步培养他们的探索精神和创新意识，同时让他们感受到数学体系在内容上的严谨与和谐．

任务分析

这节内容结论较多，若平铺直叙，则显得零乱而无章法．为了充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性，采用设问方式，引导学生自己发现问题，分析推理，归纳结论，从而加速学生的理解和掌握．

教学设计

一、问题情境

通过前面的学习，对直线与平面的位置关系有了一个明确的认识，那么空间中的两个平面的位置关系又有几种可能呢？让学生观察教室的墙面、屋顶和地面，给学生以感性认识，让学生讨论．

［平面与平面平行，平面与平面相交（个别学生可能会说平面与平面垂直，教师可作相应的解释）］

二、建立模型

［问

题］

1. 空间中两个平面的位置关系有几种？

通过上面的讨论学生能回答出：平行、相交．

2. 两种位置关系中，其公共点的个数各是多少个？

学生讨论，教师总结，得出：

若两平面α，β无公共点，则称两平面α、β平行，记作α∥β．

若两个平面有公共点，依据公理3，这些公共点组成了两个平面的公共直线，这时称两个平面相交．

3. 怎么画两个平行平面？

学生分析讨论，教师总结，得出：画两平行平面时应使两个表示平面的平行四边形的对应边平行，并尽量使两平行四边形不重叠．如图17-1．

4. 如何判断两平面平行？

教师演示，学生讨论：将两个相交的直尺慢慢从讲桌上往上平移，让学生分析平移后的相交直线确定的平面与讲桌面的位置关系．

如图17-2，在平面α内，作两条相交直线a，b，并且ａ∩ｂ＝P，平移这两条相交直线ａ，ｂ到直线ａ′，ｂ′的位置，设ａ′∩ｂ′＝P′，由直线与平面平行的判定定理可知ａ′∥α，ｂ′∥α．

由相交直线ａ′，ｂ′确定的平面β与平面α不会有公共点．否则，如图17-2，如果两平面相交，交线是ｃ，这时，过点P′有两条直线平行于交线ｃ，根据平行公理，这是不可能的．

由此，我们得出两平面平行的判定定理．

定理

如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

思考：（1）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？

（2）如果一个平面内的两条平行直线，分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？

对于判定，我们可简记为：“线面平行，则面面平行”．

5. 观察教室的天花板面和地面，知道它们是平行的平面，并且这两个平行平面与墙面相交，试分析这两条交线有什么样的位置关系．学生会答出“平行”．于是有：

定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

事实上，由于两条交线分别在两个平行平面内，所以它们不相交，它们又都同在一个平面内，由平行线的定义可知，它们是平行的．如图17-3．

思考：（1）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线是否必平行于另一个平面？

（2）分别位于两平行平面内的两条直线是否必平行？

三、解释应用

［例

题］

1. 已知：三棱锥P—ABC，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点（如图17-4）．

求证：平面DEF∥平面ABC．

证明：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又知DE∥平面ABC，因此DE∥平面ABC．同理EF∥平面ABC．又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC．

2. 已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F（如图17-5）．求证：

证明：连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG．平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF．因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF．于是，得

由此例可得如下结论：两直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

3. 已知：如图17-6，平面α∥平面β，AB与CD是两条异面直线，ABF，G分别为AC，CB，BD的中点，求证平面EFG∥α∥β

α，CDβ．若E，

证明：因为EF∥AB，AB∥α，EFα，所以EF∥α．

又FG∥CD，设FG与CD确定的平面为γ，且γ∩α＝BM，因为α∥β，γ∩β＝CD，故BM∥CD，所以FG∥BM，BM，FGα，所以FG∥BM，所以FG∥α．

又由EF∩GF＝F，故平面EFG∥а，同理平面EFG∥β．

［练

习］

1. 如图17-7，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F．已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长．

2. 如图17-8，空间四边形ABCD，E在AB上．

（1）过E作平行于对角线AC，BD的截面，并判定它的形状．

（2）设BD＝a，AC＝b，AC，BD所成的角为Q，且AE∶EB＝k，求（1）中截面的面积．

（3）当Q为定值时，求（1）中所能画出的最大的截面面积．

四、拓展延伸

1. 设a，b是两条异面直线，A为不在a，b上的空间一点，问过点A能否作一平面与直线a，b都平行．

2. 怎样使用水平仪来检测桌面是不是平的？

点

评

这个案例把问题作为教学的出发点，通过教师的课堂演示及提问，引导学生探索，分析，类比，化归；通过学生的讨论，发言，让学生主动发现规律．整个教学过程抓住了“类比和转化”这一数学方法的运用．

这个案例设计完整，思路清晰．一开始便在上节的基础上引入了两平面平行的背景，然后总结归纳出两平面平行的定义．又在演示实验的基础上得出两平面平行的判定定理及性质定理．整个过程充分体现了由特殊到一般、再由一般到特殊的辩证思维过程，给学生创造了较大的思维空间和探索求知的机会，同时关注了学生的情感、态度和价值观的培养．