1.1.2 简单组合体的结构特征教学设计及教案分析

人教版必修2“空间几何体的结构(二)”的教学设计

数学组 董桂霞

§1.2. 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

简单组合体的结构特征

一、设计思想

立体几何初步是几何学的重要组成部分，也是新课程改动较大的内容之一．《空间几何体的结构》是新课程立体几何部分的起始课程，是立体几何课程的重要内容，根据新课程的要求，这一部分的教学，就是加强几何直观的教学，适当进行思辨论证，引入合情推理．整个设计从增强学生参与数学学习的意愿入手，在学生明确学习任务的基础上，在有序列地解决问题中展开学习，运用激活、展示、应用、和整合策略，以师、生、文本三者间的多维对话为手段，最终达到提高学生参与数学学习能力的目标，取得教学的实效性．过程中让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生合作学习的意识．

二、教材分析

空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用．与传统的立体几何体系相比，人教A版对立体几何的体系结构作了重大改革．以往立体几何先研究点、直线、平面，再研究由它们构成的几何体，新课程则从对空间几何体的整体观察入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面．这种安排降低了立体几何学习入门难的门槛，强调几何直观，淡化几何论证，可以激发学生学习立体几何的兴趣．

三、学情分析

学生在义务教育阶段学习“空间与图形”时，已经认识了一些具体的棱柱（如正方体、长方体等），对圆柱、圆锥和球的认识也比较具体，能从具体的物体抽象出相应的几何体模型，但没有学习柱体、锥体的定义，只停留在“看”的层面．本节课对它们的研究的更为深入，给出了它们的结构特征．同时，还学习了棱台的有关知识，比义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分呈现的组合体多，复杂程度也加大．学生在学习本课时，通过观察实物抽象出空间图形是容易的，但要上升到用数学语言定义空间图形就比较困难．所以笔者让学生在课前先做一些柱体、锥体、台体的模型，教学过程中，每一个空间图形的定义，都通过学生观察他们自己所做的模型，结合教师、教材提供的图片，再讨论得出．

四、教学目标

⒈

知识目标：由学生对圆柱、圆锥、圆台、球的图片及实物进行观察、，比较、分析，使学生理解并能归纳出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．

2．能力目标：在圆柱、圆锥、圆台、球的概念形成的过程中，培养学生的观察、分析、抽象概括能力，几何直观能力，合情推理能力，及类比的思想方法，逐步培养探索问题的精神，善于思考的习惯．

3．情感目标：通过创造情境激发学生学习数学的兴趣和热情，鼓励合作交流、互助交流，培养创新意识．

五、重点难点

1．教学重点：感受大量空间实物及模型，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．

2．教学难点：如何让学生概括圆柱、圆锥、圆台、球结构特征．

六、教学方法与手段

1．教学方法：启发式教学法、对话式教学法．

2．教学手段：多媒体，实物模型．

七、课前准备

1．学生的学习准备：课前学生预习过本节课的内容，自制柱、锥、台的几何模型教具．

2．教师的教学准备：较多的物体模型，本节课的教学课件．

八、教学过程

自主预习

阅读材料P5－7，回答下列问题：

1．圆柱

定义

有关

概念

以

矩形

的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的

旋转体

叫做圆柱

旋转轴叫做圆柱的

轴

；垂直于轴的边旋转而成的

圆面

叫做圆柱的底面；

平行

于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，

不垂直

于轴的边都叫做圆柱侧面的母线

图形

表示法

规定

用表示它的轴的字母，即表示两底面

圆心

的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱

OO’

中华资源库

ziyuanku.com

圆柱

和

棱柱

统称为柱体

圆柱的简单性质：

(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．

(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图a所示．

(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图b所示．

中华资源库(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图c所示．

2.圆锥

定义

以

直角

三角形的一条

直角边

所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

图形

有关

概念

表示法

规定

如上图所示，轴为

SO

，底面为

ʘO ，SA为母线．另外，S叫做圆锥的

顶点

，OA(或OB)叫做底面⊙O的

半径

圆锥用表示它的

轴

的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥SO

Ziyuanku.com

棱锥

与

圆锥

统称为锥体

圆锥的简单性质：

(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．

(2)平行于底面的截面都是圆，如图a所示．

(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图b所示．

(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图c所示．

3．圆台

定义

用平行于

圆锥

底面的平面去截圆锥，

底面

与

截面

之间的部分叫做圆台

图形

原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的

下

底面和

上

底面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、

侧面

、母线，如上图所示，轴为

OO’

，AA′为母线

有关

概念

表示法

用表示的轴的

字母

表示，上图中的圆台可记作圆台

OO’

规定

圆台

与

棱台

统称为台体

圆台的简单性质：

(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．

(2)平行于底面的截面是圆，如图a所示．

(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图b所示．

(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图c所示．

4．球

定义

有关

概念

以半圆的

直径

所在直线为旋转轴，半圆面旋转

一周

形成的旋转体叫做球体，简称球

半圆的

圆心

叫做球的球心；半圆的

半径

叫做球的半径；半圆的

直径

叫做球的直径

图形

表示法

球常用表示

球心

的字母表示，如上图中的球记作球

O

5.简单组合体

(1)概念:由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.

(2)基本形式:一种是由简单几何体拼接而成,另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

判一判正确的画“√”,错误的画“×”. (1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面. (

) (2)用平面去截圆柱,会得到一个圆柱和一个圆台. (3)用平面截球,无论怎么截,截面都是圆面. (

) 答案:(1)√

(2)×

(3)√

(

) 做一做1

下列图形中是圆柱的是

.

答案:②

做一做2 将图甲所示的三角形绕直线l旋转一周,可以得到图乙所示的几何体的是

.

甲

图乙

答案:②

探究一旋转体的结构特征

准确理解旋转体的定义,在此基础上掌握各旋转体的性质,才能更好地把握它们的结构特征,以作出准确的判断. 典型例题1

判断下列各命题是否正确. (1)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和圆台; (2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台; (3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形; (4)到定点的距离等于定长的点的集合是球. 解:(1)错.只有在平面平行于圆锥底面时,才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台. (2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示. (3)正确. (4)错.应为球面. 规律总结的旋转体不同.

旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转所得探究二组合体的结构特征

对于不规则平面图形绕轴旋转问题,首先要对原平面图形作适当的分割,一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆周)等基本图形,然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析. 典型例题2

如图①②,绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的?

解:如图①②所示,其中图①是由一个圆柱O1O2和圆台O2O3、圆台O3O4组成的;图②是由一个圆锥O4O5,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的.

探究三旋转体中的计算

旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素,因而,在涉及这些元素的计算时,通常利用轴截面求解.在圆台的轴截面中,将等腰梯形的两腰延长,在三角形中可借助相似求解.这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法. 典型例题3

如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长.

探究四旋转体的侧面展开图

求旋转体侧面上两点间的最短距离,一般转化为侧面展开图上两点距离进行求解. 间的典型例题4

如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少? ※

当堂检测

1.下面几何体的截面一定是圆面的是(

) A.圆台

答案:B 2.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是

A.圆柱

C.圆台

答案:D 3.一个半径为5 cm的球,被一平面所截,球心与截面圆心的距离为4 cm,则截面面积为

.

解析:设截面圆半径为r cm,则r2+42=25,r=3.

B.圆锥

D.两个共底面的圆锥

(

) B.球

C.圆柱

D.棱柱

所以截面面积为9π cm2.

答案:9π cm2

4.一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为

cm.

解析:如图是圆锥的轴截面, 则SA=20 cm,∠ASO=30°, ∴AO=10 cm,SO=10 5.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且该正方形的面积是S,求该圆柱的底面半径.

九、板书设计

§1．1．1空间几何体结构特征（二）

⒈

圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征

名称

定义

图形

相关概念

表示

分类

圆柱

圆锥

圆台

球

2．圆柱、圆锥、圆台的关系

3.简单结构体

十、作业设计：（1）教科书第9页，习题1．1A组第1、2题

（2）预习下节课内容