第四章 圆与方程（通用）优质课教案内容

4.1.1

圆的标准方程

【教学目标】

1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力. 2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力. 【重点难点】

教学重点：圆的标准方程的推导过程和明确圆的标准方程特点. 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 【课时安排】

1课时

【教学过程】

1、导入新课

课前准备：早晨的太阳漂亮吗？请3位学生在黑板上画出太阳.其他学生在自己的脑海里也勾画出自己心中的太阳.其实每个人心中都有一个自己的太阳,这些太阳是不同的圆，它们有着不同的圆心和半径。大家回顾一下初中所学圆的定义是怎样的？到定点的距离等于定长的点的轨迹。那么在给定圆心和半径的基础上,应该如何建立圆的方程？本节学习:（板）圆的标准方程. 2、新知探究

提问：①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离? 解：根据两点之间的距离公式(x1x2)(y1y2),得

|AB|=(26)(95)|CD|=(x3)(y8). ②具有什么性质的点的轨迹称为圆？

解：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径

222222212,

1

③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

图1 解：圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.只要圆心和半径确定了,那么圆就确定了. ④已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程? 解：确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(xa)2(yb)2=r.①

将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.②

若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程②,反之若点M的坐标满足方程②,这就说明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程. ⑤圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？

解：这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2. 3、反思总结：

①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? 解：在圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件. ②确定圆的方程的方法和步骤是什么? 解：确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接分析出圆心(a,b)和半径r,也就得到所求圆的方程. ③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断? 解：点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：

2

当点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程(x0-a)2+(y0-b)2=r2. 当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程(x0-a)2+(y0-b)2r2. 也可用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为: 1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,点在圆外; 2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上; 3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,点在圆内. 4、应用示例：

例1

写出下列各圆的标准方程：

(1)圆心在原点,半径是3；

⑵圆心在点C(3,4),半径是5; (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；

(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切. 解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9. (2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5. (3)方法一（几何法）:圆的半径r=|CP|=(58)(13)程为(x-8)2+(y+3)2=25. 方法二（代数法）:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.

(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=2225=5,因此所求圆的标准方|3127|25|16|25.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=256. 25例2：写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-5,-1)是否在这个圆上. 解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25, 把点M1(5,-7),M2(-5,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上. 点评:这是用代数法也可以用几何法来解决。

另解：|M1A|r

|M2A|r

3

例3：已知△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程. 分析：从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心、半径,从而确定圆的方程。师生总结、归纳、提炼方法. 解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上, 它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是

(5a)2(1b)2r2,222(7a)(3b)r(2a)2(8b)2r2.(1)(2)

(3)a2,解此方程组得b3,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. r5.分析:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路. 另解:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2, 所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=1(x-6).

①

2同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3, 所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).

②

解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=(52)(13)=5, 所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 4、拓展提升

例题：求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程. 解: 两平行线的距离d=22|C1C2|A2B2=2,所以半径为r=d=1. 2方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=|C1C2|AB22,得|k7|3422|k3|4322,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.

4

2x,3x4y20,2411解3x+4y-2=0与y=2x组成的方程组得,因此圆心坐标为(,).1111y2x,y4,11又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-224)+(y-)2=1. 1111146y,y,3x4y70,3x4y30,1111与得和方法二：解方程组因此圆心y2x,y2x,x7x3.1111坐标为(2424,).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=1. 11111111点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理. 5、课堂小结

①圆的标准方程. ②点与圆的位置关系的判断方法. ③根据已知条件求圆的标准方程的方法. ④利用圆的平面几何的知识构建方程. 6、随堂练习

1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(

) A．(－1,5)，3

C．(－1,5)，3

B．(1，－5)，3 D．(1，－5)，3 2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是(

) A．x2＋(y－2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

B．x2＋(y＋2)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 3．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为

(

) A．x2＋y2＝2

C．x2＋y2＝1

B．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝4 4．过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆．

7、作业

1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容. 2.预习有关圆的切线方程的求法. 3.课本习题4.1

A组第2、3题.

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