信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆名师教学视频（文字实录）

与圆有关的运动轨迹的探究活动课教学设计

七中嘉祥外国语

李青

2014/11/3 一、教学目标

知识目标：引导学生掌握常见的求轨迹问题的方法，同时增强学生对平面几何图形更直观的认识

能力目标：培养学生的创新思维，使学生的解题能力得到进一步的提高，为以后的学习奠定基础。

德育目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验。

二、教学重难点分析

1．重点：掌握求轨迹方程的几种基本方法。

2．难点：如何灵活运用几种方法来解决各种求轨迹问题。

三、课时安排

1课时

四、教学设计

课前学习

课堂引入

学习汇报

课堂总结

巩固提升

方法小结

五、教学过程

（一）课堂引入

引例：公元2064年某月某日,“嘉祥太空夏令营”如期而至。小明代表数学兴趣小组参加了此次活动，并做了一次飞行轨迹的探究实验。驾驶一架国产太空飞行器“神舟1000”以离月球的距离是离地球距离的2倍的位置遨游太空(保持在固定平面内飞行) 请问：小明的飞行轨迹是什么图形？

问题一：怎么才能正确的知道小明飞行的轨迹是什么图形呢？

答：应该先求出飞行轨迹的方程！思考1：怎么求的运动轨迹的方程呢？

（二）学习汇报

1小组学习汇报（引例）

方法一：直接法

直接法也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧。

P(x,y)

y

AO

Bx方法步骤提炼

解：建立如图所示的直角坐标系，设|AB|=2a，则A(-a，0)、B(a，0)①建立拨适当坐标系

设任意动点P(x，y)②设动点的坐标

∵PB=2PA

③寻找几何关系

则(xa)2y22(xa)2y2

④几何关系代数化

516化简得:(xa)2y2a2

⑤化简代数式

39

∴小明的飞行轨迹为以(54a，0)为圆心r= a的圆。

⑥检验并写出结论

33

小结：当题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系时，求方程可用直接法。

2小组学习汇报

方法二：相关点法

相关点法也称

“

代入法

”

，如果轨迹动点P(x，y）依赖于另一动点Q（x0,y0），而Q又按某个规律运动，则可先用x，y表示x0,y0，再把x0,y0代入它满足的条件便得到动点P的轨迹方程。

方法步骤提炼

例1.已知线段AB的端点B的坐标是(3,4),端点A在圆(x1)2y24上运动,求线段AB的中点M的轨迹.解：设动点M(x，y)，A(x0,y0)

∵M为A、B的中点，

yM

①设动点的坐标（所求动点设为（x，y）；相关点设为（x0,y0））；

②寻找两动点的关系，并BAox03x2∴

y4y02x02x3

∴（*）

y2y402x用x，y分别表示x0,y0x0f(x,y)即，；

yg(x,y)0③将∵A(x0,y0)满足(x1)2y24，即(x01)2y04

将（*）式代入，得(2x31)2(2y4)24

整理，得(x1)(y2)1

22x0f(x,y)代入y0g(x,y)x0,y0满足的方程；

④整理，检验，写出结论；

∴点M的轨迹为以（1,2）为圆心，r=1的圆。

小结：所求动点因为某一个动点的动而动，则应选择相关点法为先。

3小组学习汇报

方法三：定义法

定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆等)，可用定义直接探求。

例2.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点的轨迹.解：如图，

设M（x，y）

∵△OAB为直角三角形，M为AB的中点，

∴|OM|

方法步骤提炼

①建系；

yBM1|AB|，即，|OM|a

2所以动点M的轨迹为以原点为圆心，r=a的圆。

Axo

③直接写出结论；

小结：若动点与定点间的等量关系满足圆的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，写出其方程。

②动点与定点的等量关系满足圆的定义；

4小组学习汇报

方法四：参数法

如果动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。

例3.已知a0,为参数,圆C:x2y24acosx4asiny3a20,思考：什么是参数方程？

动点P(x，y)的横、纵坐标求圆心C的轨迹.分别由参数t表示，

解：设圆心坐标为C(x,y)

xf(t)即。称方程yg(t)圆C:(x2acos)2(y2asin)2a2,

xf(t)为动点P的参数x2acos222则，消去参数，得xy4a

yg(t)y2asin方程

所以，圆心C的轨迹是以原点为圆心，r=2|a|的圆。

变式.:若方程:x2y22(m3)x2(14m2)y16m47m290.求圆心的轨迹方程。解：设圆心坐标为(x,y)

思考：怎样将参数方程转化为普通方程（消参）？

①代入消参②平方相加

圆的方程可化为:(xm3)2(y14m2)26m1,

思考：圆的参数方程？

xm32则，消去参数m，得y4(x3)1

2y4m1又6m10

所以，圆心的轨迹方程为y4(x3)21（xxarcos（其中

ybrsin17）。

6（a，b）为圆心，r为半径）

小结：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5小组学习汇报（方法小结）

（1）求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法

（一般地，一个问题可以有多种方法解决，如例1用的是相关点法，也可以用定义法。在做题时充分理解题意，一般首选直接法或定义法，若不能处理再选择相关点法或参数法。）

（2）圆几种经典生成：

生成1 ：平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。（定义）

生成2 ：平面内到两个定点的距离之比为(1)的点的轨迹是圆。（引例）

生成3 ：平面内定长的线段的两个端点分别在两条互相垂直的线上滑动，线段中点的轨迹是圆。（例2）

（三）巩固提升

1、动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积，

求P的轨迹方程．

解：设动点P（x，y）则

S=|x·y| y点P到直线x十y=6的距离d|xy6|2lBP(x,y)d

又dS，则(2xy62)2|xy|

OAx故P点的轨迹方程为：(xy6)22|xy|

当xy≥0时，方程为(x6)2(y6)236

当xy<0时，方程为x24xyy212x21y360。

2、如图，已知定点A（2,0），点Q是圆x2y21上的动点，AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程。

解：设动点M(x，y)，Q (x0,y0)

yQOMAQMQO1

∵OM为AOQ的平分线，∴MAOA2则QA3QM，QA(2x0,y0),QM(xx0,yy0)

x∴2x03(xx0)y03(yy0)3x2x02（*）

y3y023x223y)()21

22∵Q (x0,y0)满足圆x2y21，即x02y021，将（*）式代入得，(4

92242∴动点M的轨迹方程(x)y

39整理，得(x)y2223

3、过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

解：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）

yPMl21 由l1l2，则直线l2的方程为y4(x2)

k420)，l2与y轴交点B的坐标为(0，4)，

l1与x轴交点A的坐标为(2，kk ∵M为AB的中点，

BOAxl1

42k12x2k (k为参数)

24k21y2k 消去k，得x＋2y－5＝0。

另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；

当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。

综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

（四）课堂小结

（1）求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法

（一般地，一个问题可以有多种方法解决，如例1用的是相关点法，也可以用定义法。在做题时充分理解题意，一般首选直接法或定义法，若不能处理再选择相关点法或参数法。）

（2）圆几种经典生成：

生成1 ：平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。（定义）

生成2 ：平面内到两个定点的距离之比为(1)的点的轨迹是圆。（引例）

生成3 ：平面内定长的线段的两个端点分别在两条互相垂直的线上滑动，线段中点的轨迹是圆。（例2）

（3）学习感悟：

六、课后练习

1．两条直线xmy10与mxy10的交点的轨迹方程是

x2y2xy0

______. 2．已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是(x)y12221(x0)

43．当参数m随意变化时，则抛物线yx22m1xm21的顶点的轨迹方程为_4x4y30_。

4．求与两定点OO1，0、A3，0距离的比为1：2的点的轨迹方程为___xy2x30____

5．如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

y

QB解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因为R是R弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

22又|AR|=|PR|=(x4)y

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动

22AoPx设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=x4y0, ,y122

代入方程x2+y2－4x－10=0,得

(

x42yx4－10=0 )()24222整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程

6、已知平行四边形ABCD的顶点A在圆x2y21上运动，B、C的坐标分别为(2,0)，(3,3)，求顶点D的轨迹方程。

（答案：(x1)2(y3)21）

D C A O B 七、板书设计

巩固提升

标题

引例

求轨迹方程的基本方法

法一：直接法

法二：相关点法

法三：定义法

法四：参数法

课堂小结

课后作业