习题4.1ppt配用优秀教学设计

《4.1圆与方程习题课》（第一课时）教学设计

甘肃省嘉峪关市第一中学

胡建仓

一、教材分析

1．地位与作用：

在直角坐标系中，借助坐标，建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象的特征，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标系，把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现数与形的完美结合。本节内容安排在学习完直线之后，三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线与方程的理论，为后面的学习做好准备，同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题是解析几何的基本问题。这些问题的解决，为解决其他解析几何问题提供了基本的思想方法。因此，在教学中应加强练习，使学生能更好地掌握本模块的知识与方法。

这一节课要讲授的内容是“普通高中实验教科书”人教A版《数学》必修二第四章《4.1圆与方程》习题课（第一课时）。上一章已经学习了直线与方程，知道了在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线与直线的位置关系、交点等问题。

本章在上一章的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的方程，通过圆的方程，研究点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系。还要学习空间直角坐标系的有关知识，这是用代数方法研究几何对象的基础。课本安排了一个大内容——求与圆有关的轨迹问题。安排两课时。第一课时解决一个小问题：利用待定系数法求圆的方程。

二、学情分析

这节课面对的学生是高一下学期的学生。学生已经掌握了高中课程中“函数模块” 、“三角函数与平面向量模块” “数列模块”、

“立体几何模块”等知识，在本章已经学习了用代数的方法研究直线的问题，初步掌握了用坐标系与平面向量两种工具解决简单的几何问题。，还学习了圆的方程的两种形式，能用待定系数法、相关点代入法、直译法等方法求与圆有关

的轨迹方程。但由于学习时间较短，对用代数的方法研究几何问题的思想理解不够，对待定系数法求轨迹方程的方法应用不够灵活，在学习中难免出现困难。另外，在探究能力、数形结合的能力上还比较欠缺；对所学知识的整体把握不够，相对系统性较差，尤其在解题和证明问题的过程中，逻辑思维不够严谨，语言组织能力太差．导致学生在学习过程中遇到很多的困难。通过对学生在课堂上的表现和作业情况的反馈，以及对部分学生课后辅导时发现的问题的分析，归纳出以下情况：

（1）审题不仔细，欠缺灵活性，抓不住关键． （2）解题过程不规范，逻辑思维不严密． （3）在数学学习中不领会一些数学思想，不会用数学思想进行化归转化．

三、教法与学法分析：

1、本节课需要渗透的数学思想分析

（1）经历用待定系数法求圆的方程的过程，它是数学中常用的一种方法，体会用代数方法解决几何问题的思想；

（2）圆的方程含有三个参变量，需要三个条件才能确定圆，既是对初中所学的三点定圆的知识的扩充，又是用方程的思想求解参变量的数学思想的基本体现；

（3）在教学中体现转化与化归、数形结合的数学思想方法。

2.教法分析

高一学生，通过近一年的学习，已经具备了一定的研究问题的能力。在设计内容时，应该考虑到几个因素，（1）起点低，扩大参与度；（2）可发散，有探索的必要；（3）难度有层次；（4）设置陷阱，培养思维的严谨性；（5）能通过自己的努力或者团体协作解决问题。考虑以上诸多因素，本节课采用“问题探究→ 剖析归纳→典例示范→变式训练→反思总结”的教学思维；启发诱导、讲练结合的教学方法。

3.学法分析

通过前面两节课的学习，初步掌握了利用直译法求圆的标准方程的方法；圆的一般方程的形式与条件；如何求三角形的外接圆，利用相关点法求轨迹方程等知识与技能。本节课，在已有的认知条件下，通过分析与思考，能根据所给条件，选择恰当的方程，利用待定系数法求圆的方程；经过努力，完善解题思路，寻求最合理的方法，体现数学的简洁美；推导圆的直径式方程，进一步完善知识体系，体验由特殊到一般，再到特殊的辩证思想。通过用多种思路，多种方法判断四点共圆问题，总结通性通法，体验转化与划归思想的灵活应用。能把数与形有机的结合起来，体验成功的乐趣。

四、三维教学目标分析

依据《新课程标准》《高考考纲》对《基本不等式》的目标要求和学生的实际情况，确定如下目标。

1、知识与能力目标：

（1）进一步掌握圆的两个方程的特点，能根据已知条件，选择恰当的方程，利用待定系数法求圆的方程；

（2）能熟练推导圆的直径式方程并能简单应用；

（3）能合理应用所学知识判断四点是否共圆。

2、过程与方法目标：

按照“问题探究→ 剖析归纳→典例示范→变式训练”的过程呈现.启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；加深对待定系数法的应用，和对数形结合思想的理解。. 3、德育目标：

（1）问题设置注重层次性，恰当地引入数学史，让学生体验成功的喜悦，拓宽视野，丰富知识，激发学习兴趣和求知欲；

（2）采用变例教学，在课本例题的基础上一题多变，层层递进，培养独立思考，不断探索实践的能力，让学生认识到认识事物由简单到复杂，由特殊到一般的辩证思想；

（3）问题的设置注重一题多解，旨在培养学生多角度思考问题，积极探索的意识；

（4）直径式方程的形式体现了数学的对称美、简洁美、推导过程环环相扣，体现数学证明严密的逻辑性、演绎美；

（5）探究“判断四点共圆”问题，提高用代数的方法研究几何问题的能力，进一步熟练运用数形结合思想方法的能力，培养学生的发散思维。

五、教学重、难点分析

重点：本节课的重点是利用待定系数法求圆的方程

结合学生的知识结构与解决问题的能力，我认为本节课的难点有如下两个：

1、如何根据已知条件选择最优的方法；

2、如何用不同的方法判断四点是否在同一个圆上. 拟创新点：结合初中所学知识，根据圆的几何性质，利用代数的方法判断四点共圆。

六、教学准备

多媒体课件、板书

七、教学过程

（一）考点梳理

1.复习由圆的定义推导标准方程的过程，并强调是解析几何中求曲线轨迹方程的一般方法——“直接法”；

设计意图：复习圆的标准方程以及用直接法求轨迹方程的一般步骤。

2. 复习圆的一般方程

(1)方程:当D+E-4F>0时,方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,其中圆心为

-

-

,

半径为

- .

2222

(2)说明:方程x+y+Dx+Ey+F=0不一定表示圆.当且仅当D+E-4F>0时,表示圆;当D+E-4F=0时,表示一个点

-

-

;当D+E-4F<0时,不表示任何图形. 设计意图：复习圆的一般方程的形式以及表示圆的条件，进一步培养学生分类讨论的意识。

3.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r(r>0),可以直接看出圆心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0),知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)总结用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤: 2222222222222

22①根据题意,选择标准方程或一般方程; ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程. 设计意图：为本节课的主要内容——利用待定系数法求圆的方程做铺垫。

（二）引例

引例1、根据所学知识填空：

(1)圆C:x2y22x50的圆心坐标是(2)圆C:x2y22by2b20的圆心坐标是设计意图：熟练圆的标准方程与一般方程的应用。

，半径长为，半径长为. . 情景预设：学生独立完成，（2）中设置的陷阱，让学生自己发现问题，并解决问题，反思，总结。

情景预设：第一次课堂冲突——问题2中圆的半径，是否加绝对值！

引例2.求下列各圆的方程：

(1)圆心为点C(8,3)，且过点A(5,1)；(2)过A(1,5),B(5,5),C(6,2)三点；

设计意图：（1）通过解决三点定圆问题，进一步熟练待定系数法；（2）一题多解，结合求三角形的外接圆的方法，体验用代数方法研究几何问题的优越性：（3）培养数形结合的能力。

情景预设：板书示范（2）的解答过程，培养学生解答数学问题的规范性，严谨性。

（三）典例解析

例1：平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？设计意图：（1）是上面三点定圆问题的延续，学生从情感上感觉亲切，容易上手；

（2）判断四点共圆的问题在初中已经学过，有助于学生拓宽思路，培养学生的探究意识的很好的载体；（3）能否用代数的方法研究初中几何所学的与圆有关的结论，激发求知欲；

（4）四个点的坐标在平面直角坐标系中标出来，不难发现，两个垂直关系，轻松得到结果，体现了数形结合思想的优越性，学生在潜移默化中接受了数形结合的数学思想方法。

情景预设：在完成上题的基础上，学生很自然的想到思路1：选三个点确定圆的方程，再代入第四点验证；

在思路1的解答过程中，判断三点是否共线是必不可少的，然后产生了思路2：点标在坐标系中，发现BABC,DADC,则四点都在以AC为直径的圆上；

继续回顾上题的解法，得到思路3，找一点M，到四个点的距离都相等，点M必然在线段的中垂线上，如果三条中垂线交于一点，则这四点共圆；

结合圆内接四边形的性质定理和结论，得到圆内接四边形对角互补，其逆命题也是真命题，得到思路4：只需要求对角的余弦值，若两个值相反，则四点共圆；

有了前面的几种思路，学生思维灵活的特点逐渐体现出来，就会有智慧的火花不断涌现，创造性的思想方法应运而生。通过本题，学生的热情开始沸腾，再接再厉，展开后续的教学活动。

选几位学生上讲台讲思路，再选几位学生作出评价，老师板书总结学生想到的所有证明四点共圆的方法与思路。

例2：圆心C在直线l：x2y10上，并且经过原点和点A(2,1)；设计意图：（1）巩固待定系数法；（2）发散思维，学生在思维最活跃的时候，解决问题是一种乐趣。

情景预设：鼓励多种方法。学生板书解答过程，学生评价，反思。

【变式训练1】求心C在x轴上，并且过点A(1,1)和点B(1,3)的圆的方程.

设计意图：巩固，提高。

情景预设：由学生独立完成。

例3：已知圆的一条直径的端点分别是点A(4,9),B(6,3),求此圆的方程.

设计意图：（1）为提炼圆的直径式方程做铺垫；（2）为证明圆的直径式方程提供思路；

变例：已知圆的一条直径的端点分别是点A(x1,y1),B(x2,y2),求证此圆的方程是： (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.

设计意图：（1）继续强化数形结合思想——直径所对的圆周角是直角；（2）证明过程的严谨性；（3）体会解决垂直问题时，用斜率的关系与向量关系，哪个更好？

情景预设：用两直线的斜率的关系探究垂直问题时，需要分类讨论斜率是否存在。

例4：已知点M与两个定点A,B的距离的比为常数2，求点M的轨迹方程.

设计意图：（1）练习直接法求轨迹方程的基本思想；（2）渗透阿波罗尼斯的与圆有关的数学思想及研究方法。

探究：已知点M与两个定点A,B的距离的比为常数m(m0)，则点M的轨迹一定是圆吗？

试说明理由.设计意图：（1）练习直接法求轨迹方程的基本思想；（2）渗透分类讨论的数学思想；（3）渗透古代数学家阿波罗尼斯的与圆有关的数学思想及研究方法。

（四）课堂小结

（1）利用待定系数法求圆的方程的一般方法；

（2）判断四点共圆的方法总结；

（3）圆的直径式方程的推导与简单应用；

（4）与圆有关的轨迹问题的解决方法。

（五）课后作业

1、一题多解：

(1)圆心C在直线l：x2y10上，并且经过原点和点A(2,1)；(2)平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？2、规范解答：

已知圆的一条直径的端点分别是点A(x1,y1),B(x2,y2),求证此圆的方程是： (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.3、探究拓展：

探究：已知点M与两个定点A,B的距离的比为常数m(m0)，则点M的轨迹一定是圆吗？

试说明理由.（六）板书设计

1、例题讲解

1、引例2解答过程示范

2、四点共圆的证法总结

思路1……

思^2……

……

2、学生板演、评价

多媒体课件演示区域

圆的定义——

圆的标准方程——

圆的一般方程

解法一

解法二

解法三

解法四

（七）教后反思

第一次认真准备习题课的教学活动，感触良多，收获颇丰。我从三个方面对本节课的教学活动做一总结反思。

第一方面：如何备习题课。

反思备课习题课的备课比新授课难度更大，首先要选题，通过认真分析，选择典型的，既能突出本课时重点，又有助于培养学生数学思维的题目，因此，研题是备课中非常重要的环节。课本习题分AB两组，A组题主要是对所学内容的复习和巩固，还有对新授课内容中没有安排，但需要掌握的内容的补充，如习题中对圆的直径式方程的证明。B组习题相对于A组，综合性更强，略高于课标要求，具有复习课的功能，也有培养学生发散性思维的作用。这就需要老师根据学生实际情况，掌握一个度，既要让学生有收获，又不会因为难度过大而挫伤积极性，因此，例题选择由浅入深，层层推进，达到了预期目标。环节之二，备学生，高一学生，知识储备，思维能力有限，但有热情，求知欲望强，思维活跃，可塑性强，例题的设置，以课本例题和己学过的知识为背景，既让学生感觉熟悉，又有一定区别，引领学生思维，探索，如己知三角形的三个顶点坐标，求外接圆方程的问题。环节三，备教法。尽量让学生多做，老师少讲，把分析，解答，评价，总结等环节交给学生。能容忍他们的各种失误，错误，这样才能让他们放下包袱，积极思考，在不断偿试中改正错误，改进方法，提高能力。

第二方面：反思教学过程。

整个教学过程的设计很恰当，学生的分析，解决问题的环节很精彩，特别是学生讲思路，学生找方法，学生做点评等环节。同学们积极性很高，处处可见丰富的想象力，思维的闪光点。每道题，学生都能发现各种各样的解法，他们在评价同学的过程中，语言表达能力，逻

辑思维能力得到了充分地煅炼。遗憾的是，由于时间总是匆匆而过，课堂小结略显仓促，如果妈充裕的时间，让学生自己总结，效果会更好。

第三方面：渗透德育教育。

问题设置由浅入深，鼓励学生参与，对良好心态的培养与调整起到积极作用。用代数的方法研究几何问题，对培养学生的数学思维能力和运用数学的思想方法解决实际问题的能力有很大帮助。规范书写解答过程，对培养学生的条理性，严谨性有至关重要的作用。合理引入数学史，拓展了视野，增加了思维的深度和广度。