1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学内容概述

空间几何体的三视图、表面积与体积

一、教学内容分析

立体几何是高中数学的重点内容，是考查空间想象能力的重要载体．高考主要考查三视图，柱、锥、球的表面积和体积，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．空间几何体的三视图是立体几何的基础之一,画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图,是建立空间观念的基础和训练学生几何直观能力的有效手段。本节课是普通高中新课程人教版文科数学二轮复习专题《立体几何》第一课时。本节课主要内容是识别应用三视图并求表面积、体积,识别并能画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图,是建立空间概念的基础和训练学生几何直观能力的有效手段,三视图部分是新课程高考的重要内容之一,常常结合给出的三视图求给定几何体的表面积或体积设置在选择或填空中,同时,三视图在工程建设、机械制造中有着广泛应用,同时也为学生进入高一层学府学***的帮助。所以在人们的日常生活中有着重要意义。

二、学生学情分析

学生通过之前的学习巩固，对正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等都有了直观认识;会画直棱柱、圆柱、圆锥与球的三视图,会判断简单物体的三视图,能根据展开图描述基本几何体或实物原型。能够利用基本几何体与其三视图、展开图之间的关系解决现实生活中的简单问题,但对三视图与几何体之间的相互转化还有必要加强，适当掌握解题技巧。

三、教学目标

1、知识与技能：

（1）能识别三视图表示的简单组合体，从而进行几何体与其三视图之间的相互转化，提高学生的识图作图能力。

（2）在掌握柱、锥、台的表面积、体积公式的情况下，能运用公式解决几何体的表面积、体积。

（3）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。

2、过程与方法：

让学生通过直观感知,操作确认的方法探究空间几何体与其三视图之间的相互转化,发展学生的空间想象能力,培养学生转化与化归的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观：

（1）感受数学就在身边,提高学生的学习立体几何的兴趣,培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神,并形成良好的思维习。

（2）培养学生动手做数学的意识,感受数学与实际生产、生活的联系和作用,让学生在探究过程中体会从多角度、多侧面看待问题的方式

四、教学重点、难点

重点：(1)画出空间几何体及简单组合体的三视图（2）给出三视图,还原或想象出原实际图的结构特征，并能利用公式计算出几何体的表面积、体积，体会三视图的作用。

难点：识别三视图所表示的空间几何体。

五、学法与教法

1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解并应用。

2、教法：针对本节课知识是由抽象到具体再到抽象、空间思维难度较大的特点直观教学法、引导发现法。在教学中,通过创设间题情境,充分调动学生学习的积极性和主动性,并引导启发学生动眼、动脑、动手同时采用多媒体的教学手段,加强直观性和启发性,解决了教师“口说无凭”的尴尬境地,增大了课堂容量,提高了课堂效。

六、教学过程

（一）创设情景、揭示课题

立体几何是高中数学的重点内容，是考查空间想象能力的重要载体．高考主要考查三视图，柱、锥、球的表面积和体积，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．其中，几何元素间的位置关系和度量关系是考查重点。立体几何试题突出综合性，综合考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．

特点总体分析

从近六年全国卷（理科13套，文科13套）的考查情况看，总体保持稳定，文科和理科都是1大2小，分值22分，总体难度中等．不管文科还是理科，空间线、面位置关系（平行、垂直）的研究都是重点，可以从命题形式、几何作图、逻辑证明等多角度研究，试题均具有一定的思维量与计算量. 三视图是每年（理科、文科）的必考题，由三视图到直观图，再研究几何体的表面积或体积.球与多面体的接切是常考题，理科有5题、文科有8题；涉及多面体在球内、多面体的外接球以及球在多面体内，研究球的截面性质等．

空间几何体的三视图、表面积与体积命题分析 1.“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)． 2.考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．

数学文科全国卷3年考情分析

回顾公式

1.柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱

圆锥

圆台

直棱柱

正棱锥

面积

S侧＝________ S侧＝________ S侧＝π(r1＋r2)l

S侧＝________ S侧＝________

正棱台

球

1答案：2πrh

πrl

Ch

Ch′

4πR2

22．几何体的表面积

1S侧＝(C＋C′)h′

2S球面＝________ (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是__________．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是________、________、________；它们的表面积等于________与底面面积之和．

答案：(1)各面面积之和

(2)矩形

扇形

扇环

侧面积

３．几何体的体积

圆柱

圆锥

圆台

直棱柱

正棱锥

正棱台

球

11答案：Sh

Sh

Sh

Sh

33体积

V＝________＝πr2h

11V＝________＝πr2h＝πr2l2－r2

33112V＝(S上＋S下＋S上S下)h＝π(r21＋r2＋r1r2)h

33V＝________ V＝________ 1V＝(S上＋S下＋S上S下)h

34V＝πR3

3学生活动：引导学生回忆，互相交流，教师总结。

设计意图：运用情境创设,能够让学生在动机上做好准备,对所学内容产生兴趣,使学生在学习前处于对知识的“饥饿状态”产生一个心理“缺口”从而激发学生产生弥合心理缺口的学习动力。

（二）问题与例题

角度一

已知几何体，识别三视图

【例1】

沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(

)

【解析】

由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确； 中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确； 而对角线的方向应该从左上到右下，故A不正确．

【答案】

B

[练习] 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )

A

B

C

D

[解析]

由直观图可知，该几何体是由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．故选B.

小结：解答此类问题的关键是：一要掌握各种基本几何体的三视图，注意简单组合体的构成；二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等”的法则．

角度二

已知三视图，判断几何体的形状

例2：(2017课标全国Ⅱ,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(

) A.90π

B.63π

C.42π

D.36π

解析：补图法，补成一个圆柱

V＝πr2h＝×π×9×14＝63π.

答案：B

1212

小结：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补形，转化为可以计算体积的空间几何体，通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积．

练习：1、(2016课标全国Ⅱ,6,5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

) A．20π

C．28π

B．24π

D．32π

解析：由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体， S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 答案：C

12

练习：2、(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为

.  

解析

由几何体的三视图可画出该几何体的直观图如下:  

∴该几何体的体积V=2×1×1+1/2×π×1=2+π/2.

小结：解决此类问题首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，确定几何体的形状．对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式法进行求解．因此我们需要熟练柱体．锥体、台体、球等几何体的体积公式．

角度三

已知三视图中的两个视图，判断第三个视图

【例3】

(1)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(

)

解析

(1)由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示，该几何体的侧视图为B项．故选B．

【思维升华】

三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线

表示，不能看到的部分用虚线表示． (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．

学生活动：教师引导学生思考、探究、讨论、交流，动手动脑总结提高。

设计意图:新课程改革的理念之就是学习方式的转变。现代学习方式的基本特征包括“体验性”,强调学生亲身去经历、去感悟。让学生从听老师讲解推导转向学生自己动手进行数学表示、推导演算,体现“做数学”的现代数学教有理念。

易错点

不能巧妙运用长方体和正方体解题

错因分析：不能借助长方体和正方体协助解题，使解题受阻．

例4：1、(2017课标全国Ⅰ,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) A.10

B.12

C.14

D.16

解析：勾圈法

S＝2××(2+4) ×2＝12 答案：B

2、(2014课标全国Ⅰ,12,5分)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(

) A．62 B. 6 C．42 D．4 12解析：勾圈法

AB=4; AC=42; AD=6; BC=4; BD=CD=25. 答案：B

练习：1、(2017北京理,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 (

) A.3 

B.2 

C.2 

D.2 解析

根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD) 如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正方体中. 由图可知该四棱锥的最长棱为PD,PD= 2 . 3故选B.

练习：2、

(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(

) A．60 B．30 C．20 D．10 解析

如图，把三棱锥A－BCD放到长方体中，

长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD为直

角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A－BCD 11的高为4，故该三棱锥的体积V＝××5×3×4＝10. 32技法融会

1.由三视图还原到直观图的三步：（1）根据俯视图确定几何体的底面；（2）根据正(主)视图或侧（左)视图确角定几何体的侧与例面的特征,（3）确定几何体的直观图形状

在读图或者画空间几何体的三视图时,应注意三视图中的实虚线（图象勾圈疑似点，虚实注意真顶点.）

例5：(2014课标全国Ⅰ,12,5分)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(

) A．62 B. 6 C．42 D．4 解析：三线法

AB=4; AC=42; AD=6; BC=4; BD=CD=25. 答案：B

练习：根据三视图还原直观图

三线交汇疑似点，虚实注意真顶点.

学生活动：在教师引导下对易错题型思考、探究、讨论、交流，动手动脑总结提高。

设计意图：根据学生是学习的主体,教师是组者、引导者与合作者的理念,通过两个不同的方法技巧,从特殊到一般,引导学生总结归纳解题方法技巧，培养学生的抽象概括能力。

（三）归纳总结

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积时要注意衔接部分的处理；求旋转体的表面积时要注意其侧面展开图的应用．

(3)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．

(4)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．

(5)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

（四）作业布置

完成课后练习

设计意图:课后学习,让同学们进行课后深化和加深知识的记忆。