2.3 抛物线（通用）国家获奖教案

高中数学人教A版2003课标版选修1-1 2.3抛物线和简单几何性质

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．

(二)能力训练点

从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能

力．

(三)学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程

的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．

二、教材分析

1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．

(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．) 2．难点：抛物线的几何性质的应用．

(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．) 3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．[来源:学科网]

(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)[来源:学#科#网]

三、活动设计

提问、填表、讲解、演板、口答．

教学过程

【情境设置】

由一名学生回答，教师板书．

问题

抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质．

下面我们根据抛物线的标准方程：【探索研究】

1．抛物线的几何性质

（1）范围：因为值增大时，

，由方程可知

，所以抛物线在

轴的右侧，当

的

来研究它的几何性质．

．

也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

（2）对称性：以

代

，方程不变，所以抛物线关于

轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

（3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当

，因此抛物线的顶点就是坐标原点．

时（4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知 其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．

再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？

学生和教师共同小结：

（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；

（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；

（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；

（4）抛物线的离心率是确定的，为1．

【例题分析】

例1已知抛物线关于

轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点求它的标准方程，并用描点法画出图形．

，

求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如下：

由求出的标准方程

，变形为

的范围内几个点的坐标，得

，根据

计算抛物线在

0 1 2 3 4 ……[来源:Zxxk.Com]

0 1 2.8 3.5 4 ……

描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图

）．

然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．

例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为

，灯深

，求抛物线的标准方程和焦点位置．

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，

轴垂直于灯口直径．

抛物线的标准方程为30）且在抛物线上，代入方程得：

，由已知条件可得点

，

的坐标是（40， 所以所求抛物线的标准方程为

，焦点坐标是 .

（三）随堂练习

1．求适合下列条件的抛物线方程

①顶点在原点，关于

轴对称，并且经过点

②顶点在原点，焦点是

③顶点在原点，准线是

④焦点是

，准线是

[来源:Z.xx.k.Com]

m，跨度是 m，求拱形的抛物线 2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是方程

答案：1．① 2．

②

③

④

(要选建立坐标系)

（四）总结提炼

抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．

（五）布置作业

1．顶点在原点、焦点在

轴上，且过点

的抛物线方程是（

）

A． B． C． D． 2．若抛物线线的距离为（

）

上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准 A．1 B．2 C．4 D．6 3．若垂直于

轴的直线交抛物线线

的方程为__________. 4．抛物线形拱桥，当水面宽此时水面宽为___________. 5．抛物线的顶点是双曲线求抛物线方程．

6．若抛物线

上一点求

的横坐标及抛物线方程．

答案：1．B 2．C 3．

（六）板书设计

4．

于点

，且

，则直

时，水面离拱顶为

，若水下降

，则

的中心，而焦点是双曲线的左顶点，

到准线及对称轴的距离分别是10和6， 5． 6．9，