3.4 生活中的优化问题举例课时教案

教学内容

3.4生活中的优化问题举例

2017-2018“一师一优课、一课一名师”活动

知识与技能：

会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。

过程与方法：

教学目标

在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养。

情感、态度与价值观：

在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。

教学重点

利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学难点

将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题。

教学准备

投影仪

课时安排

3课时

第一课时

课时目标

利用导数解决生活中的一些优化问题。

一、复习回顾，新课引入

1、判断函数的单调性

设函数yf(x)在 f'(x)0 f(x)为增函数

某个区间内可导 f'(x)0 f(x)为减函数

2、求函数的极值

步骤：

（1）确定定义域；（2）求导数f'(x)；

（3）求f'(x)0的根；（4）列表；（5）判断。

教学过程

3、求函数的最值

求闭区间a,b上最值的步骤：

(1)求f(x)在区间a,b内极值，

(2)将yf(x)的各极值和两区间端点f(a)、f(b)比较,从而确定函数的最值。

注意：开区间a,b要考虑最值是否存在。

二、师生互动，新课讲解

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。优化问题的本质即为解有关函数的最大值最小值的实际问题。

1

2017-2018“一师一优课、一课一名师”活动

通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具。这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。

（一）、情境引入

优惠大酬宾

十元一张!!!

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能装多少就多少!!!

用边长为30cm的正方形包装纸的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个装蛋糕的容器，

思考：如何设计容器的高和底边长，使得容器能装蛋糕的体积最大？最大体积是多少？

_

30

_

30

如何求容器的体积的最大值

1、体积的计算公式是什么？

体积=底面积高

2、高与底面边长的关系是什么？

高+底面边长+高＝30 3、设高为x,则与底面边长的关系是什么？

高为x,则底面边长为302x

4、容器的体积表达式是什么？

V(x)302xx

25、表达式中自变量x范围是什么？

0x15

转化：把求容器的体积最大值的问题转化为求函数V(x)302xx，0x15的最大值问题。

2 2

解：设容器高为xcm，则底面边长为302xcm，

则得容器的容积V是x的函数，

V(x)302xx (0x15) 22017-2018“一师一优课、一课一名师”活动

4x3120x2900x

V(x)12x2240x900

令V(x)0，得x5，或x15 (舍去) 当0x5时，V(x)0，当5x15时，V(x)0. ∴当x=5时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值．

答：当容器的高为5cm，底面边长为20cm时，所做的容器能装最多的蛋糕。

问：由上述例子，你能归纳出解决优化问题的基本思路吗？

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

按实际问题作答

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。

（二）、例题巩固

例、（课本P101例1）海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

2dm

1dm 128dm2

x + 4

思考：如何来表示空白面积？

下面的问题能够帮助你思考问题：

1、版心面积为128dm，那么版心的高和宽的关系是什么？ 2、整个海报的高和宽与版心的高和宽有什么关系？

3、空白面积与整个海报的面积和版心的面积的关系是什么？

3

128dm x1282)128，x0

四周空白面积为：S(x)(x4)(x转化：

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设版心的高为xdm,则宽为1282)128，

把求海报空白面积的最小值转化为求函数S(x)(x4)(xx0的最小值问题。

128 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为

x1285122)1282x8,x0。

S(x)(x4)(xx 求导数，得

512S'(x)22。

x512令S'(x)220，解得x16(x16舍去）。

x1281288。

于是宽为x16当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0. x16是函数S(x)的极小值，因此，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

（三）、变式训练

一条长为l的铁丝截成两段，分别

弯成两个正方形，要使两个正方形

的面积和最小，两段铁丝的长度分

别是多少？

解：设两段铁丝的长度分别为x,lx，其中0xl

则两个正方形面积和为：

xlx21SS1S2()2()2x22lxl2

4416

11S4x2l2xl

168

l令S0,得x

2

ll当x(0,)时,s'(x)0;当x(,l)时,s'(x)0;

22

ll2所以，当x时,S取最小值,最小值为.

232

l

此时两段铁丝的长度都为.2

三、课堂小结，巩固反思

4

1．利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

建立数学模型

2017-2018“一师一优课、一课一名师”活动

用函数表示的数学问题

解决数学模型

按实际问题作答

优化问题的答案

用导数解决数学问题

2．解决优化问题的步骤：

(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；

(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；

(4)作答：把得到数学答案转化为实际问题的答案。

安全提示语：同学们，现在是下课时间，上下楼梯，请靠右行走，不要拥挤、不要喧哗，静我校园！

1、某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元1p24200x25，且生产x吨的成本为R=50000+200x元。/吨）之间的关系为问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入－成本）。

2、如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？

练习设计

3、用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积

3.4生活中的优化问题举例

板书设计

电

子

白

板

教学反思

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