4.3.2 空间两点间的距离公式说课稿【一等奖】

§4.3.2 空间两点间的距离公式

（一）教学目标

1．知识与技能

使学生掌握空间两点间的距离公式

2．过程与方法

经历空间两点将距离公式的推导过程

3．情态与价值观

通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程

（二）教学重点、难点

重点：空间两点间的距离公式；

难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

知识要点：

2221. 空间两点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)间的距离公式：|PP12|(x1x2)(y1y2)(z1z2). 2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：

①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；

②依题意确定各相应点的坐标；

③通过坐标运算得到答案. 3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z). 例题精讲：

【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值. 解：|AB|=6，∴(x5)2(24)2(37)26，

即(x5)216，解得x=1或x=9. 【例2】求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标. 解：设点P关于坐标平面xOy的对称点为P，连PP交坐标平面xOy于Q，

则PP坐标平面xOy，且|PQ|=|PQ|，

∴P在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合，P在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，

∴P与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，

∴点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,-3).

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【例3】在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BD1与CC1间的距离.

解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设P、Q分别是直线BD1和CC1上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，a,z1)，则由正方体的对称性，显然有x=y.

要求异面直线BD1与CC1间的距离，即求P、Q两点间的最短距离.

PHBHz2a2xax设P在平面AC上的射影是H，由在BDD1中，，所以，∴x=a-z，

D1DBDaa2a∴P的坐标为(a-z, a-z, z) a2a2∴

|PQ|=(az)z(zz1)=(zz1)2(z)

222222∴当zz12aa.

时，|PQ|取得最小值，最小值为222a. 2∴异面直线BD1与CC1间的距离为点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0. 【例4】在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离.

解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，

则P(0,0，0)，A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）. 过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离.

PA=PB=PC,∴H为ABC的外心，

又ABC为正三角形，

aaa∴H为ABC的重心，可得H点的坐标为(,,). 333aaa3a, ∴|PH|=(0)2(0)2(0)23333∴点P到平面ABC的距离为3a

3点评：重心H的坐标，可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离. 本题也可以用几何中的等体积法来求解.

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